В треугольнике с вершинами в точках А (4; 1), B (7; 5) и с (-4; 7) найдите: а) длину медианы, проведенной из вершины В;
б) длину биссектрисы, проведенной из вершины А;
в) координаты точки пересечения медиан;
г) косинус внутреннего угла при вершине С.

Дан треугольник с вершинами в точках А (4; 1), B (7; 5) и с (-4; 7).

Находим:

а) длину медианы, проведенной из вершины В;

Расчет длин сторон     Квадрат

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =   5 25

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =   11,18033989 125

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) =   10 100.

Как видим, треугольник прямоугольный.

Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами).      

А₁(Ха1;Уа1)       Хв+Хс      Ув+Ус                  х у

                     2              2               А₁   1,5      6

В₁(Хв1;Ув1) Ха+Хс      Уа+Ус                х       у

                     2               2  В₁    0      4

C₁(Хс1;Ус1)     Ха+Хв     Уа+Ув                      х у

                  2                2               С₁ 5,5   3.

 Длины медиан:  

АА₁ = √((Ха1-Ха)²+(Уа1-Уа)²)) =  5,590169944.    

BB₁ = √((Хв1-Хв)²+(Ув1-Ув)²)) =   7,071067812.    

CC₁ = √((Хc1-Хc)²+(Уc1-Уc)²)) =  10,30776406.

б) длину биссектрисы, проведенной из вершины А;

Длина биссектрисы:      

АА₃ = √(АВ*АС*((АВ+АС)²-ВС²))   = 4,714045208

                      АВ+АС    

в) координаты точки пересечения медиан это центр вписанной окружности;

Находим периметр: Р = 26,18034

             Х =    

ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс   = 3,618033989.

             Р

     Y =

ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус = 3,673762079.

             Р          

г) косинус внутреннего угла при вершине С.

cos C= АC²+ВС²-АВ²

        2*АC*ВС                         = 0,894427191  

  C = 0,463647609 радиан

  C = 26,56505118 градусов