В треугольнике OKB M-середина ОК,Н- середина ВО. Через точку О проведен отрезок ОА до пересечения с продолжением стороны КВ в некоторой точке А. Продолжение прямой МН пересекает отрезок ОА в точке Т. Найти отношение длин отрезков ОТ и АТ.

Для начала, давайте разберемся, как выглядит задача.

У нас есть треугольник OKB, в котором М - середина стороны ОК, а Н - середина стороны ВО.

Далее, мы проводим отрезок ОА, который пересекает продолжение стороны КВ в некоторой точке А.

Затем мы продолжаем прямую МН до ее пересечения с отрезком ОА в точке Т.

Нам нужно найти отношение длин отрезков ОТ и АТ.

Для того чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством серединного перпендикуляра.

Серединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из середины стороны треугольника к противоположной стороне.

Мы знаем, что М - середина стороны ОК, поэтому проведем серединный перпендикуляр к стороне КВ.

Пусть это перпендикуляр пересекает сторону КВ в точке С.

Так как М - середина стороны ОК, а ОКB - треугольник, то по свойству серединного перпендикуляра отрезок МС будет перпендикулярен стороне ОК, а также МС будет равен половине стороны ОК.

Теперь рассмотрим треугольник ОАС.

Мы знаем, что Х - середина стороны ВО, так как ВОК - треугольник.

Проведем серединный перпендикуляр к стороне ОВ.

Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону ОВ в точке Р.

Так как Х - середина стороны ВО, а ОАС - треугольник, то по свойству серединного перпендикуляра отрезок ХР будет перпендикулярен стороне ОВ, а также ХР будет равен половине стороны ОВ.

Поскольку М и Х всегда будут серединами, то отрезки МС и ХР равны между собой.

Теперь мы можем заметить, что треугольник МТО и треугольник РТА подобны друг другу, так как у них углы при основаниях одинаковые (они прямые) и у них одинаковые углы у оснований, так как отрезки МС и ХР равны.

Таким образом, отношение длин отрезков ОТ и АТ равно отношению длин отрезков МТ и ТР.

Мы знаем, что отрезки МТ и ТР равны, поэтому отношение длин отрезков ОТ и АТ равно 1:1.

То есть, отрезки ОТ и АТ равны между собой.

ОТ = АТ.

Таким образом, отношение длин отрезков ОТ и АТ равно 1:1.