В треугольнике ABC угол С=90 градусов, Е принадлежит АВ, АЕ=ЕВ; F принадлежит АС, AF=CF. Через точку Е проведен перпендикуляр ME к плоскости АВС. Докажите, что: 1) MF перпендикулярна AC; 2) МС=МА.

Добрый день! Давайте рассмотрим данный вопрос.

1) Чтобы доказать, что MF перпендикулярна AC, нам необходимо проделать следующие шаги:
- Обратимся к треугольнику ABC. Здесь, учитывая, что угол C равен 90 градусов, имеем прямой угол. Таким образом, AC является гипотенузой прямоугольного треугольника.
- Вспомним, что E принадлежит стороне AB треугольника ABC и AE=EB. Тогда точка E будет серединой стороны AB.
- Теперь проведем перпендикуляр ME к плоскости ABC через точку E. Так как Е является серединой стороны AB, то перпендикуляр ME будет пересекать гипотенузу AC в ее середине.
- Признаком перпендикулярности является попарная ортогональность. В нашем случае, так как ME пересекает гипотенузу AC в ее середине, то мы можем сделать вывод, что MF будет перпендикулярна стороне AC треугольника ABC.
- Таким образом, доказано, что MF перпендикулярна AC.

2) Чтобы доказать, что МС=МА, мы воспользуемся теоремой о медиане треугольника.
- В треугольнике ABC соединим точку М, которая является серединой стороны AB, с вершинами A и C. Получим две медианы AM и CM.
- По теореме о медиане треугольника, медиана делит сторону на две равные части. То есть, MC=MA.
- Следовательно, МС=МА, и это доказывает второе утверждение.

Таким образом, мы доказали, что 1) MF перпендикулярна AC и 2) МС=МА.