В треугольнике ABC с углом B, равным 120градусам, проведены биссектрисы BB1, AA1, CC1. Чему равен угол A1B1C1?

Пусть AA1, BB1 и CC1 – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°.  На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку

∠A1BK = 180° – 120° = 60° = ∠B1BE, то BA1 – биссектриса угла B1BK, смежного с углом ABB1. Поэтому точка A1 равноудалена от прямых AB и B1B, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CB1. Значит, точка A1 равноудалена от сторон угла BB1C, то есть B1A1 – биссектриса угла BB1C. Аналогично B1C1 – биссектриса угла AB1B.  

Следовательно, (∠AB1B + ∠BB1C) = ½ *180° = 90°.