В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Чему равны углы треугольника A1B1C1, если ∠A=110∘, ∠B=40∘, ∠C=30∘?

Ответ: 40°,  60°, 80°

Объяснение:

   Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высота из тупого угла проходит внутри треугольника, а высоты из вершин острых углов перпендикулярны продолжениям сторон, к которым проведены.

Пусть продолжения высот пересекаются в некоторой точке К.

Треугольник ВКС - остроугольный.

 В прямоугольном треугольнике СВВ1 ∠ВСВ1=30°, ⇒ ∠СВВ1=90°-30°=60°.

  В прямоугольном треугольнике ВСС1 ∠СВВ1=40° ⇒

∠ВСС1=90°-40°=50°

Из суммы углов треугольника ∠К=180°-угол В-угол С=180°-60°-50°=70°

  В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному ( теорема).

  В ∆ А1СС1 ∠А1=∠ВКС=70°, ∠С1=углу КВС=60°

В ∆ А1ВВ1 ∠В1А1К=∠ВКС =70°

Угол В1А1С1 равен разности между развернутым углом ВА1С  и двух углов по 70°, ,  т.е. ∠В1А1С1=180°-2•70°=40°.

Аналогично в ∆ В1КС1 ∠КС1В1=∠КВС=60° ⇒

∠В1С1А1 равен разности величин развернутого угла КС1С и двух углов по 60°.

В ∆ А1В1С1 угол С1=180°-2•60°=60°

Из суммы углов треугольника в ∆ А1В1С1 угол В1=180°-40°-60°=80°