В треугольнике ABC медиана AM делит угол BAC в соотношении 1:2. Точка D лежит на продолжении AM, так что ∠DBA= 90. Найти соотношение AC:AD. тому, кто решит и ОБЪЯСНИТ!

Відповідь:

1:2

Пояснення:

ΔАМС: ∠МАC=2α, ∠АМС=β

по теоремме синусов

МС/sin2α=AC/sinβ → MC=AC*2*sinα*cosα/sinβ

ΔAMB: ∠МАB=α, ∠АМB=180°-β

по теоремме синусов

МB/sinα=AB/sin(180-β)  → MB=AB*sinα/sinβ

MC=MB

AC*2*sinα*cosα/sinβ=AB*sinα/sinβ

AC*2*cosα=AB → AC=AB/(2cosα)

ΔABD: ∠DАB=α, ∠ABD=90°

AD=AB/cosα

AC:AD=AB/(2cosα):AB/cosα=1:2

Построим р/б △DAG

AF - биссектриса/высота/медиана

∠DAB=∠DAF=∠GAF => △DAB=△DAF=△GAF

△BMD=△FMD => MB=MF=MC, ∠BMD=∠FMD

△CMF - р/б, ∠BMF=2∠MCF => ∠BMD=∠MCF => AD||CF

CF - средняя линия в △DAG (AD||CF, F - середина DF)

AC =AG/2 =AD/2