В треугольнике ABC AB = 7,AC = 9√2,∠A = 135°.K ∈ AB, BK: KA = 5: 2, E ∈ BC, BE:EC = 1: 4, KE⋂AC = M, CK⋂BM = T.Найдите площадь треугольника AMT.

Samt = 1 1/3 ед².

Объяснение:

По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей ЕМ:  

(СЕ/ЕВ)·(ВК/КА)·(АМ/(МС) =1. => (4/1)·(5/2)·(АМ/(АМ+9√2)) = 1.  =>

10АM/(AM+9√2) = 1. => АМ = √2. CA/АM = 9/1. => АС/СМ = 9/10.  

По теореме Менелая для треугольника МВА и секущей ТС:

(МТ/ТВ)·(ВК/КА)·(АС/(СМ) =1. =>  

(МТ/ТВ)·(5/2)·(9/10)) = 1. => МТ/ТВ = 4/9. =>  МТ/МВ = 4/13.

Треугольники МВА и АМТ - треугольники с одной высотой, то есть отношение их площадей равно отношению сторон, на которую проведена высота. =>  

Samt/Smba = 4/13.  

Smba = (1/2)·АВ·MA·Sin(ВАМ). ∠ВАМ = 45° (как смежный с ∠ВAС = 135°).

Smba = (1/2)·7·√2·√2/2 = 3,5 ед².   =>

Samt = (4/13)·3,5 = 1 1/13 ед².