В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 72 и 18, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.

Добрый день!

Для решения данной задачи постепенно выполним следующие шаги:

1. Нам дано, что основания трапеции ABCD равны 72 и 18 соответственно (AD = 72, BC = 18).

2. Также нам известно, что сумма углов при основании AD равна 90°.

3. Первым шагом найдем высоту трапеции. Для этого вспомним свойства трапеции: сумма углов при основании AD равна 180°, а сумма углов при основании BC также равна 180°. Так как сумма углов при основании AD равна 90°, то угол C равен 180° - 90° = 90°. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором можно применить теорему Пифагора.

Обозначим высоту трапеции как h. Для прямоугольного треугольника ABC верно, что h^2 = AD^2 - AB^2, где AD = 72 и AB = 18.

Подставим известные значения и решим уравнение:
h^2 = 72^2 - 18^2 = 5184 - 324 = 4860.

Корень из 4860 равен примерно 69.8, поэтому получаем, что высота трапеции равна 69.8.

4. Из свойств трапеции также известно, что точки касания биссектрисы со сторонами трапеции делят эти стороны пропорционально. То есть, отрезки AC и BD делятся соответственно как AB и CD. Так как AB = 18, то получаем, что AC = 72 и BD = 18 * (72 / CD).

5. Далее, нам нужно найти радиус окружности, которая проходит через точки A и B и касается прямой CD. Для этого вспомним свойство касательной: радиус, проведенный из центра окружности, перпендикулярен касательной.

Обозначим радиус окружности как R. Так как мы знаем, что AC = R и BD = R, и эти отрезки делятся пропорционально, то получаем, что R / AC = R / BD = AB / CD.

Подставляем известные значения и получаем: R / 72 = R / (18 * (72 / CD)) = 18 / CD.

Упростим последнее выражение: R / 72 = 18 / CD.

6. Теперь нам нужно решить полученное уравнение для R. Для этого умножим обе части уравнения на 72 и получим R = (18 * 72) / CD. Упростим это выражение: R = 1296 / CD.

7. Мы также знаем, что CD = AD - AC = 72 - 18 = 54.

Подставим этот результат в уравнение для R и получим R = 1296 / 54 = 24.

Итак, радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен 24.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте.