В равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и ВС. ВС = 4 cм, BDC = 30°, BDA = 45°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, и ее боковую сторону.

Добрый день!

Для решения данной задачи постараемся учесть все данные и шаг за шагом найти ответ.

Итак, у нас дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Дано, что ВС = 4 см, BDC = 30° и BDA = 45°.

Давайте начнем с нахождения боковой стороны трапеции. Выразим ее через данные, которые мы имеем. Обозначим боковую сторону как x.

В равнобокой трапеции боковые стороны равны. Итак, мы можем назвать боковую сторону трапеции и AD равными. Таким образом, AD = x.

Зная это, давайте рассмотрим треугольник BDC. Мы знаем, что BDC = 30°. А также, в равнобокой трапеции углы при основаниях равны. Значит, угол BCD тоже равен 30°.

Теперь мы можем рассмотреть правильный треугольник BCD. Здесь у нас есть два угла равных 30°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем найти третий угол:

180° - 30° - 30° = 120°.

Итак, у нас есть угол BCD = 30°, угол BDC = 30° и угол BCD = 120°.

Заметим, что вокруг треугольника BCD можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен половине диагонали треугольника.

Для нахождения диагонали нам пригодится теорема синусов. В прямоугольном треугольнике BCD можем записать соотношение:

sin(BCD) = BC / BD.

У нас известен угол BCD (30°) и сторона BC (4 см). Чтобы найти сторону BD, нам осталось выразить ее через известные данные.

Мы знаем, что угол BCD = 30°. Также, у нас есть угол BDA = 45°. Следовательно, угол ABD равен 180° - 30° - 45° = 105°.

Мы можем записать соотношение для прямоугольного треугольника ABD:

sin(ABD) = AD / BD.

У нас известен угол ABD (105°) и сторона AD (x). Чтобы найти сторону BD, нам осталось выразить ее через известные данные.

Решим получившиеся уравнения. Подставим известные значения и найдем BD:

sin(BCD) = BC / BD,
sin(30°) = 4 / BD,
1/2 = 4 / BD,
BD = 8 см.

Таким образом, мы нашли значение стороны BD - оно равно 8 см.

Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной вокруг трапеции. Радиус окружности равен половине диагонали треугольника BCD, который мы нашли ранее.

Половину диагонали треугольника BCD можно найти, применяя теорему синусов для прямоугольного треугольника BCD:

sin(BCD) = BC / BD,
sin(30°) = 4 / 8,
1/2 = 4 / (2 * r),
r = 2.

Итак, радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен 2 см.

Таким образом, боковая сторона трапеции равна 8 см, а радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен 2 см.