В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD =14, BC =6 и боковой стороной
AB =6 проведена диагональ AC. В каждый из треугольников ADC и ACB вписаны
окружности. Найдите расстояние между точками касания окружностей и диагональю AC.

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства равнобедренной трапеции и окружностей, а также теорему касательных.

1. Сначала найдём высоту равнобедренной трапеции ABCD. Высота равнобедренной трапеции является высотой треугольника, образованного основанием и боковой стороной. Используя теорему Пифагора, найдем высоту.

В данной задаче, основание AD = 14, BC = 6 и боковая сторона AB = 6.
По свойству равнобедренной трапеции, высота проведена к середине основания и перпендикулярна ему.
Тогда мы можем разделить основание на две равные части, получив отрезки CD и DA длиной по 7 единиц каждый.
Теперь мы получили прямоугольный треугольник ADC, в котором известны две катеты (AD = 7 и DC = 14) и нужно найти гипотенузу, которая является высотой равнобедренной трапеции.

Используя теорему Пифагора: c^2 = a^2 + b^2,
где c - гипотенуза, а и b - катеты, получим:
AC^2 = AD^2 + DC^2
AC^2 = 7^2 + 14^2
AC^2 = 49 + 196
AC^2 = 245
AC = √245
AC = 7√5

Таким образом, высота равнобедренной трапеции AC равна 7√5.

2. Далее, найдем радиусы вписанных окружностей в треугольники ADC и ACB. Для этого воспользуемся следующей формулой:
S = p * r,
где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника и r - радиус вписанной окружности.

Для треугольника ADC:
Будем использовать формулу для площади треугольника через его стороны: S = √(p * (p - AD) * (p - CD) * (p - AC)), где p = (AD + DC + AC) / 2 - полупериметр треугольника.
Для нашего треугольника: p = (7 + 14 + 7√5) / 2 = (21 + 7√5) / 2,
S = √((21 + 7√5) / 2 * ((21 + 7√5) / 2 - 7) * ((21 + 7√5) / 2 - 14) * ((21 + 7√5) / 2 - 7√5))
S = √((21 + 7√5) / 2 * (7√5 - 7) * (7√5 - 14) * (7√5 - 7√5))
S = √((21 + 7√5) / 2 * 7 * (7 - √5) * (7 - √5))
S = √((21 + 7√5) * 7 * (7 - √5))
S = √(49 * (21 + 7√5) * (7 - √5))
S = √(49 * (147 - 7√5 + 49√5 - 35))
S = √(2401 - 343√5 + 343 + 2401√5 - 1715)
S = √(4802 - 172√5)
S = √2 * √(2401 - 86√5)
S = √2 * √((49 - √5)^2)
S = √2 * (49 - √5)

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник ADC равен √2 * (49 - √5).

Для треугольника ACB:
Аналогично вычисляем площадь по формуле S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)):
p = (AB + BC + AC) / 2 = (6 + 6 + 7√5) / 2 = (12 + 7√5) / 2,
S = √((12 + 7√5) / 2 * ((12 + 7√5) / 2 - 6) * ((12 + 7√5) / 2 - 6) * ((12 + 7√5) / 2 - 7√5))
S = √((12 + 7√5) / 2 * 6 * (6 - √5) * (6 - √5))
S = √((12 + 7√5) * 6 * (6 - √5))
S = √(72 + 42√5 - 36√5 - 35)
S = √(72 + 6√5 - 35)
S = √(37 + 6√5)

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник ACB равен √(37 + 6√5).

3. Найдем расстояние между точками касания окружностей и диагональю AC. Оно равно разности радиусов двух окружностей.

Расстояние = √2 * (49 - √5) - √(37 + 6√5)

Полученное значение будет являться конечным ответом на задачу.