В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию. Определи длину биссектрисы угла ∡A, если длина биссектрисы угла ∡C равна 19 см.
Pazime21_uzd.png
Рассмотрим треугольники ΔDAC и Δ.

(Все углы и стороны нужно записывать большими латинскими буквами.)

1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника,
. Так как данный треугольник равнобедренный, то ∡B
= ∡BCA.

2. Так как проведены биссектрисы этих углов, справедливо, что ∡ =∡DAC=∡DCE= ∡ .

3. У рассматриваемых треугольников общая сторона
.
Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
У равных треугольников равны все соответствующие элементы, в том числе стороны
=
.

Длина искомой биссектрисы
см.

Для решения этой задачи, давайте вначале разберемся с обозначениями и фактами, которые нам даны.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Также проведены биссектрисы углов BAD и CAD. Мы знаем, что длина биссектрисы угла CAD равна 19 см.

Давайте выпишем все факты, которые мы уже знаем:

AB = AC (Так как треугольник ABC равнобедренный)
CD = 19 (Длина биссектрисы угла CAD)

Теперь давайте докажем, что треугольники DAC и DBC равны.

Мы знаем, что угол BAC равен углу BCA (Так как треугольник ABC равнобедренный). Поэтому, угол BAD (который является половиной угла BAC) равен углу BCD (который является половиной угла BCA). Обозначим их как угол DAB и угол DCB.

Также, у нас есть факт, что биссектриса угла CAD делит угол CAD на два равных угла. Поэтому угол DAC равен углу ACE, а угол ACD равен углу AEC. Обозначим их как угол DAE и угол DCE.

Теперь у нас есть следующие факты:

Угол DAB = Угол DCB
Угол DAC = Угол ACE
Угол ACD = Угол AEC

Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников, который говорит, что если у двух треугольников равны соответствующие углы, то эти треугольники равны.

Поэтому, треугольники DAC и DBC равны.

Это означает, что стороны AC и BC равны. Обозначим их как x, чтобы выразить искомую длину биссектрисы угла A.

Теперь у нас есть следующие равенства:

AC = BC = x
CD = 19

Так как треугольники равны, все их стороны равны. Поэтому, мы можем записать следующие равенства:

x = AC = BC
x = CD = 19

Теперь мы можем выразить искомую длину биссектрисы угла A.

Длина искомой биссектрисы угла A равна половине суммы сторон AC и BC (так как биссектриса делит угол на две равные части).

Длина искомой биссектрисы угла A = (AC + BC) / 2
Длина искомой биссектрисы угла A = (x + x) / 2
Длина искомой биссектрисы угла A = (2x) / 2
Длина искомой биссектрисы угла A = x

Так как мы знаем, что x = 19 (по равенству сторон AC и CD), мы можем заключить, что:

Длина искомой биссектрисы угла A равна 19 см.

Таким образом, мы получили ответ на вопрос: длина биссектрисы угла ∡A равна 19 см.