В равнобедренном треугольнике ART проведена биссектриса TM угла T у основания AT,
∡ TMR = 72°. Определи величины углов данного треугольника (если это необходимо, округли ответ до тысячных).

∡ A =
°;

∡ T =
°;

∡ R =
°.

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойство равнобедренного треугольника, которое гласит, что биссектриса угла основания равнобедренного треугольника является высотой, медианой и медианой угла этого треугольника.

Дано:
∡TMR = 72°

Нам нужно определить величины углов треугольника ART.

Решение:

1. Используем свойство равенства углов в треугольнике, то есть сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, у нас есть:

∡T + ∡A + ∡R = 180° ——(1)

2. Используем свойство биссектрисы угла, о котором было сказано выше. Заметим, что угол ∡TMR является углом основания равнобедренного треугольника ART. Таким образом, ∡TMR = ∡T + ∡A/2. Подставляем значение из условия задачи (∡TMR = 72°) в это равенство:

72° = ∡T + ∡A/2 ——(2)

3. Используем свойство равенства углов в треугольнике, а именно свойство равенства углов, образованных пересечением биссектрисы и стороны треугольника. То есть, ∡TMR = ∡R + ∡M. Подставляем значение из условия задачи (∡TMR = 72°) в это равенство:

72° = ∡R + ∡M ——(3)

4. Как было сказано ранее, биссектриса также является высотой, медианой и медианой угла треугольника. Заметим, что треугольник TMR является равнобедренным. Таким образом, ∡MTR = ∡RTM (так как это углы при основании), а также ∡RMT = ∡TMR (так как это углы при биссектрисе).

5. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, можем записать следующие равенства:
∡TMR + ∡MTR + ∡RMT = 180°
72° + ∡RTM + ∡TMR = 180°
∡RTM + ∡TMR = 180° - 72°
∡RTM + ∡TMR = 108°

6. Заметим, что ∡RTM и ∡TMR равны по свойству равнобедренного треугольника, так как это углы при равных сторонах. То есть, ∡RTM = ∡TMR.

7. Теперь можем записать:

∡RTM + ∡TMR = 108°
2∡TMR = 108°
∡TMR = 108°/2
∡TMR = 54°

8. Таким образом, мы нашли значение угла ∡TMR, а значит, можем найти значения остальных углов треугольника ART.

Используем равенство (2):

72° = ∡T + ∡A/2

Подставляем значение ∡TMR = 54°:

72° = ∡T + 54°/2
72° = ∡T + 27°
∡T = 72° - 27°
∡T = 45°

Теперь найдем значение угла ∡A, используя равенство (1):

∡T + ∡A + ∡R = 180°
45° + ∡A + ∡R = 180°
∡A + ∡R = 180° - 45°
∡A + ∡R = 135°

Учитывая, что треугольник ART равнобедренный, имеем ∡A = ∡R. Таким образом, получаем:

2∡A = 135°
∡A = 135°/2
∡A = 67.5°

Теперь можем найти значение угла ∡R:

∡A + ∡R = 135°
67.5° + ∡R = 135°
∡R = 135° - 67.5°
∡R = 67.5°

Итак, получаем ответ:
∡A ≈ 67.5°,
∡T ≈ 45°,
∡R ≈ 67.5°.