В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) с углом при вершине B, равном 20°, на стороне AB взята точка M так, что BM = AC. Найти угол AMC.

∠АМС = 30°

Объяснение:

Дано:

Треугольник АВС:    ВС = АВ

ВМ = АС

∠АВС = 20°

Найти:

∠АМС

Cмотри прикреплённый рисунок

Сделаем дополнительные построения:

1) Cтроим параллелограмм АВТС. По свойству параллелограмма диагональ ВС делит его на два равных треугольника: ΔТСВ = ΔАВС

2) Приняв ВС за ось симметрии, построим ΔСВК  симметричный ΔСВТ.

ΔСВТ = ΔСВК  по построению.

При этом ∠СВК = 0,5 · (180° - 20°) =80°, ∠АВС = 20°, тогда

∠КВМ = 80° - 20° = 60°.

По условию ВМ = АС, а АС = ВТ и ВТ = ВК по построению. Тогда ВМ = ВК и ΔМВК равнобедренный. Поскольку угол при вершине В треугольника МВК равен 60°, то  два угла при основании ВК  равны по 60°, и ΔМВК - равносторонний.

Проекции НВ и НК сторон МВ и МК  в Δ МВК являются и проекциями сторон СВ и СК равнобедренного ΔСВК. то точки Н, М и С лежат на  общем перпендикуляре СН, являющимся высотой, медианой и биссектрисой обоих равнобедренных треугольников: ΔМВК и ΔСВК.

Поскольку МН - биссектриса угла КМВ. то ∠ВМН = ∠КМН = 30°.

∠АМС и ∠ВМН - вертикальные углы. поэтому  ∠АМС = 30°