В прямоугольной трапеции острый угол при основании равен 30о, а сумма оснований равна 12 см и сумма боковых сторон равна 18 см. Вычислите площадь трапеции. (в ответе укажите только число без единицы измерения)​

сантиметров квадратных

Объяснение:

Смотрите фотографию

Для решения данной задачи мы можем использовать два подхода: геометрический и алгебраический. Давайте начнем с геометрического подхода.

1. Рисуем прямоугольную трапецию и обозначаем ее основания a и b, боковые стороны h1 и h2, а также острый угол при основании, который равен 30°.

-----------
\ /
\ /
\_____/

2. Обозначим сумму оснований равную 12 см, то есть a + b = 12.

3. Определим боковые стороны. Обратите внимание, что боковые стороны параллельны и равны друг другу в прямоугольной трапеции.

----h1----
\ /
\ /
\ h2 /
\ /
\_/

4. Обозначим сумму боковых сторон равную 18 см, то есть 2h1 + 2h2 = 18.

5. Поскольку боковые стороны прямоугольной трапеции равны, мы можем записать уравнение: h1 + h2 = 9.

6. Теперь у нас есть два уравнения: a + b = 12 и h1 + h2 = 9. Мы можем использовать систему уравнений для решения задачи.

7. Решим первое уравнение (a + b = 12) относительно переменной a. Мы можем записать a = 12 - b.

8. Подставим значение a во второе уравнение: (12 - b) + b = 9. Получаем уравнение 12 - b + b = 9, которое упрощается до 12 = 9.

9. Поскольку это неверное уравнение, значит, дело в несогласованных предположениях. Давайте вернемся к начальным условиям задачи и просмотрим их внимательнее.

10. Перечитаем условие: "В прямоугольной трапеции острый угол при основании равен 30°".

11. Опа! Мы сделали предположение о прямоугольной трапеции, но условие говорит о том, что острый угол при основании равен 30°. Это значит, что трапеция не является прямоугольной.

12. Возвращаемся к рисунку трапеции и меняем тип трапеции. Теперь мы имеем острый угол при основании.

----h1---
\ /
\ /
\ /
\ /
\______/

13. Теперь, когда мы знаем, что острый угол при основании, равный 30°, можем использовать эту информацию для расчетов.

14. Поскольку трапеция не является прямоугольной, мы не можем использовать первоначальный подход с системой уравнений. Давайте рассмотрим алгебраический метод.

15. Поскольку сумма оснований равна 12 см, мы можем записать уравнение a + b = 12.

16. Разобъем трапецию на прямоугольный треугольник и два прямоугольника.

----h1---
\ /
\ /
\ /
a \___/

17. Обратите внимание, что основание a является гипотенузой прямоугольного треугольника. Давайте найдем его длину.

18. Зная острый угол при основании, равный 30°, и сумму сторон, равную 18 см, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти сторону h1.

19. Используем тангенс 30°: tg(30°) = h1 / a. Тангенс 30° = 1 / √3.

20. Заменяем tg(30°) в уравнении и получаем h1 / a = 1 / √3.

21. Переносим a на другую сторону уравнения и получаем h1 = a / √3.

22. Теперь у нас есть два выражения: a + b = 12 и h1 = a / √3.

23. Подставляем значение h1 во второе уравнение и получаем a / √3 = a / √3.

24. Мы получили тождественное уравнение. Это означает, что a и b могут принимать любые значения, при условии, что их сумма равна 12.

25. Для простоты рассмотрим случай, когда a = 6 и b = 6. Обратите внимание, что это только одно из возможных решений.

26. Теперь, когда мы знаем значения оснований, можно вычислить высоту h1.

27. Подставляем значения a = 6 и b = 6 в уравнение h1 = a / √3 и получаем h1 = 6 / √3.

28. Для упрощения подсчетов можно умножить числитель и знаменатель на √3 и получим h1 = (6√3) / 3.

29. Упрощаем выражение и получаем h1 = 2√3.

30. Теперь, чтобы найти площадь трапеции, мы можем использовать формулу: площадь = полусумма оснований * высота.

31. Зная, что полусумма оснований равна (a + b) / 2 = (6 + 6) / 2 = 12 / 2 = 6, и высота равна h1 = 2√3, мы можем подставить значения в формулу и получим площадь = 6 * 2√3 = 12√3.

32. Наконец, у нас есть площадь трапеции равная 12√3. Если нам нужно представить ответ в виде числа без единицы измерения, то площадь трапеции в этом случае равна приблизительно 20.78461051.

Таким образом, площадь трапеции равна 20.78461051 (округлено до десятичного знака).