в прямоугольной системе координат треугольник SpQ задается координатами S(-2:1),P(2:4),Q(6:1).Напишите уравнение окружности, вписанной в треугольник

Для начала, давайте рассмотрим несколько важных фактов о вписанной окружности в треугольник:

1. Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника только в одной точке.
2. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания окружности, являются биссектрисами углов треугольника.

Используем эти факты для нахождения центра и радиуса вписанной окружности.

Во-первых, найдем длины сторон треугольника SP, PQ и QS.

Длина стороны SP:
√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(2 - (-2))^2 + (4 - 1)^2] = √[4^2 + 3^2] = √(16 + 9) = √25 = 5

Длина стороны PQ:
√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(6 - 2)^2 + (1 - 4)^2] = √[4^2 + (-3)^2] = √(16 + 9) = √25 = 5

Длина стороны QS:
√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(6 - (-2))^2 + (1 - 1)^2] = √[8^2 + 0^2] = √(64 + 0) = √64 = 8

Второй факт о вписанной окружности говорит нам, что отрезки SP, PQ и QS являются биссектрисами соответствующих углов треугольника.

Теперь, найдем координаты точек пересечения биссектрис. Воспользуемся формулой нахождения точки пересечения двух прямых с координатами (x1, y1) и (x2, y2):

x = (x1 * d2 + x2 * d1) / (d1 + d2)
y = (y1 * d2 + y2 * d1) / (d1 + d2),

где d1 и d2 - длины отрезков, с которыми биссектрисы пересекаются.

Итак, первая биссектриса SP:

Для нахождения координат точки пересечения биссектрисы SP с биссектрисой PQ, найдем точку середины отрезка SP и длину этого отрезка:

Середина отрезка SP:
x = (-2 + 2) / 2 = 0,
y = (1 + 4) / 2 = 5 / 2.

Длина отрезка SP:
√[(2 - (-2))^2 + (4 - 1)^2] = 5.

Теперь найдем координаты точки пересечения:
x = (0 * 5 + 2 * 5 / 2) / (5 + 5 / 2) = (0 + 5) / (2 + 1) = 5 / 3,
y = (5 / 2 * 5 + (4 * 5 /2) / (5 + 5 / 2) = (25 / 2 + 20 / 2) / (10 / 2 + 5 / 2) = 45 / 7.

Координаты точки пересечения биссектрис SP и PQ: (5/3, 45/7).

Аналогично, для второй биссектрисы PQ:

Середина отрезка PQ:
x = (2 + 6) / 2 = 4,
y = (4 + 1) / 2 = 5 / 2.

Длина отрезка PQ:
√[(6 - 2)^2 + (1 - 4)^2] = 5.

Теперь найдем координаты точки пересечения:
x = (4 * 5 + 6 * 5 / 2) / (5 + 5 / 2) = (20 + 15) / (2 + 1) = 35 / 3,
y = (5 / 2 * 5 + (1 * 5 /2) / (5 + 5 / 2) = (25 / 2 + 5 / 2) / (10 / 2 + 5 / 2) = 15 / 7.

Координаты точки пересечения биссектрис PQ и QS: (35/3, 15/7).

И, наконец, для третьей биссектрисы QS:

Середина отрезка QS:
x = (-2 + 6) / 2 = 2,
y = (1 + 1) / 2 = 1.

Длина отрезка QS:
√[(6 - (-2))^2 + (1 - 1)^2] = 8.

Теперь найдем координаты точки пересечения:
x = (2 * 8 + 6 * 8 / 2) / (8 + 8 / 2) = (16 + 24) / (8 + 4) = 40 / 12 = 10 / 3,
y = (1 * 8 / 2 + (1 * 8 /2) / (8 + 8 / 2) = (4 + 4) / (4 + 2) = 8 / 6 = 4 / 3.

Координаты точки пересечения биссектрис QS и SP: (10 / 3, 4 / 3).

Теперь, когда у нас есть координаты трех точек пересечения биссектрис, мы можем найти центр вписанной окружности.

Центр вписанной окружности - это точка пересечения перпендикуляров, проведенных из середин отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения биссектрис.

Для точек (0, 5/2), (5/3, 45/7) и (10/3, 4/3) найдем уравнение прямой, проходящей через точки (0, 5/2) и (5/3, 45/7), и уравнение прямой, проходящей через точки (0, 5/2) и (10/3, 4/3).

Уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2):
(y - y1) = m(x - x1),

где m - коэффициент наклона (угловой коэффициент):
m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Таким образом, для первого перпендикуляра, проходящего через точки (0, 5/2) и (5/3, 45/7), имеем:
m = (45/7 - 5/2) / (5/3 - 0) = (45/7 - 35/14) / (5/3) = (90/14 - 35/14) / (5/3) = (55/14) / (5/3) = (55/14) * (3/5) = 165 / 70 = 33 / 14.

Уравнение этого перпендикуляра:
(y - 5/2) = (33/14)(x - 0).

Упрощаем:
(y - 5/2) = (33/14)x.

Распишем:
14y - 35 = 33x.

Теперь, для второго перпендикуляра, проходящего через точки (0, 5/2) и (10/3, 4/3), имеем:
m = (4/3 - 5/2) / (10/3 - 0) = (4/3 - 15/6) / (10/3) = (8/6 - 15/6) / (10/3) = (-7/6) / (10/3) = (-7/6) * (3/10) = -21/60 = -7/20.

Уравнение этого перпендикуляра:
(y - 5/2) = (-7/20)(x - 0).

Упрощаем:
(y - 5/2) = (-7/20)x.

Распишем:
20y - 50 = -7x.

Теперь найдем точку пересечения этих двух перпендикуляров путем решения системы уравнений:
14y - 35 = 33x,
20y - 50 = -7x.

Из первого уравнения найдем:
y = (33x + 35) / 14.

Подставим это значение во второе уравнение:
20(33x + 35) / 14 - 50 = -7x.

Упростим:
660x + 700 - 700 = -98x.

Избавимся от переменной:
660x + 700 = -98x,
758x = -700,
x = -700 / 758,
x ≈ -0.922.

Теперь, найдем значение y, подставив найденное значение x в первое уравнение:
y = (33 * (-0.922) + 35) / 14,
y ≈ 0.052.

Таким образом, координаты центра вписанной окружности - это приблизительно (-0.922, 0.052).

Осталось найти радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любой стороны треугольника.

Для нахождения радиуса воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:
√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2].

Найдем расстояние от центра до стороны SP:
√[(-2 - (-0.922))^2 + (1 - 0.052)^2] = √[(-1.078)^2 + (0.948)^2] = √(1.162084 + 0.898704) ≈ √2.060788 ≈ 1.436.

Таким образом, радиус вписанной окружности - это приблизительно 1.436.

Итак, уравнение окружности, вписанной в треугольник SpQ, имеет вид:
(x + 0.922)^2 + (y - 0.052)^2 = (1.436)^2.