В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки по 9 см и 6 см. Найдите площадь треугольника.

ΔАВС прямоугольный, <C=90, т.О - центр впис. окружности, ОМ перпендикулярно

АВ, ОН перп-но СВ, ОК перп-но АС, ОМ=ОН=ОК=r -радиус вписан. окр.

АМ=9,ВМ=6

АМ=АК=9, ВМ=ВН=6 (как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окр-ти). ---> АВ=9+6=15, АС=9+r, DC=6+r

По теореме Пифагора: АС²+ВС²=АВ²

(6+r)²+(9+r)²=15² ---> r²+15²-54=0 ---> r=-18<0 (не подходит), r=3>0.

S=pr , p - полупериметр

р=0,5(АВ+АС+ВС)=0,5((9+3)+(6+3)+15)=0,5*36=18 S=18*3=54