В прямоугольном треугольнике DBC ( ∟C = 900) провели высоту СК. Найти отрезок ВК, если DB = 20 см, ВС = 10 см.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора и теорему о высоте в прямоугольном треугольнике.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В данной задаче, гипотенузой является отрезок DB, а катетами являются отрезки ВК и КС.

Теорема о высоте утверждает, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на два катета пропорционально их длинам. В данном случае, отрезок КС является высотой, а КВ и ВС - катетами.

Теперь давайте решим задачу пошагово:

1. Сначала найдем длину отрезка КС, используя теорему Пифагора:
DB^2 = ВК^2 + КС^2
20^2 = ВК^2 + КС^2
400 = ВК^2 + КС^2

2. Затем найдем длину отрезка ВС, зная, что отрезок ВК делит гипотенузу на два катета пропорционально их длинам:
ВК/КС = ВС/СК
ВК/КС = ВС/ВК
ВК^2 = КС*ВС
ВК^2 = КС * 10 (подставляем известную длину ВС равную 10 см)

3. Подставим найденное выражение для ВК в уравнение теоремы Пифагора:
400 = (КС * 10) + КС^2
400 = 10КС + КС^2
КС^2 + 10КС - 400 = 0

4. Найдем значения КС, решив полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:
Дискриминант D = 10^2 - 4*1*(-400) = 100 + 1600 = 1700

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:
КС1 = (-10 + sqrt(1700))/2
КС2 = (-10 - sqrt(1700))/2

5. Ответом на задачу будет максимальное значение КС, так как отрезок ВК будет также максимальным:
ВК = КС1

Таким образом, мы найдем отрезок ВК, используя теорему Пифагора, теорему о высоте и решив полученное квадратное уравнение. Ответ будет максимальное значение КС, равное КС1.