В прямоугольном треугольнике ABC угол C - прямой AB=16, площадь равна 16. Найди длину высоты, опущенной из прямого угла. Укажи ответ в десятичной дроби, если получилось дробное число

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом и AB равно 16.

2. Мы хотим найти длину высоты, опущенной из прямого угла C.

3. Для начала, давайте найдем длину одной из сторон треугольника, например, сторону AC.

4. Мы знаем, что площадь треугольника равна 16. Формула для вычисления площади треугольника равна 0.5 * основание * высота.

5. В нашем случае, основание треугольника равно AC, а высота - высота, опущенная из прямого угла C. Поэтому, мы можем записать уравнение следующим образом: 16 = 0.5 * AC * высота.

6. Заметим, что высота разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника. Один из них является подобным заданному треугольнику ABC. То есть, высота делит сторону AC пополам.

7. Таким образом, длина высоты равна половине стороны AC.

8. Мы также можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AC. Так как мы знаем, что угол C является прямым углом, то треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

9. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a^2 + b^2 = c^2.

10. В нашем случае, катетом является сторона AC, а гипотенузой - сторона AB. Поэтому мы можем записать уравнение следующим образом: AC^2 + BC^2 = AB^2.

11. У нас есть значение стороны AB, которое равно 16. Подставим это значение в уравнение и получим: AC^2 + BC^2 = 16^2.

12. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол A тоже прямой. Значит, сторона BC является высотой, опущенной из прямого угла C.

13. Мы можем заметить, что сторона BC разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника. Один из них является подобным заданному треугольнику ABC. То есть, высота также делит сторону AB пополам.

14. Из пункта 13 следует, что сторона BC равна половине стороны AB.

15. Теперь, мы можем заметить, что сторона BC является катетом в уравнении из пункта 10, а сторона AC является гипотенузой.

16. Подставим значение стороны BC в уравнение и получим: AC^2 + (0.5*AB)^2 = AB^2.

17. Заменим AC на x: x^2 + (0.5*16)^2 = 16^2.

18. Решим это уравнение: x^2 + 64 = 256.

19. Вычтем 64 с обеих сторон уравнения: x^2 = 192.

20. Избавимся от квадрата в левой части уравнения, извлекая квадратный корень с обеих сторон: x = √192.

21. Упростим выражение для x: x = √(64*3).

22. Далее, разложим 64 на множители: x = √(8^2 * 3).

23. Воспользуемся свойством корня √(a*b) = √a * √b: x = 8 * √3.

24. Выразим ответ в десятичной дроби, округлив: x ≈ 13.856.

Таким образом, длина высоты, опущенной из прямого угла C, составляет приблизительно 13.856.