В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 5 и 12 см, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, необходимо знать длины трех его сторон: основания и высоты.
В данной задаче нам известны стороны основания - 5 и 12 см. Нам нужно найти высоту параллелепипеда.

По условию, диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а стороны основания - его катетами.

Мы можем найти длину диагонали, используя теорему Пифагора. Если \(a\) и \(b\) – длины катетов, а \(c\) – длина гипотенузы, то справедливо равенство \(c^2 = a^2 + b^2\).

В нашем случае, стороны основания равны 5 и 12 см, поэтому мы можем записать следующее равенство: \(c^2 = 5^2 + 12^2\).

Выполним вычисления:
\(c^2 = 25 + 144\),
\(c^2 = 169\).

Теперь найдем длину диагонали:
\(c = \sqrt{169}\),
\(c = 13\).

Таким образом, длина диагонали равна 13 см.

Чтобы найти высоту параллелепипеда, мы можем использовать треугольник, образованный высотой, диагональю и одной из сторон основания.

В данной задаче диагональ и стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Так как угол между диагональю и стороной основания равен 45°, то угол между диагональю и высотой составляет 90°-45° = 45°.

Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 13 см, а один из катетов - сторона основания равная 5 см. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения другого катета.

Выразим \(b\) в треугольнике через \(с\) и \(a\) с помощью тригонометрического соотношения \(\sin\):
\(\sin(\text{угла}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\),
\(\sin(45°) = \frac{b}{13}\).

Подставим известные значения и найдем \(b\):
\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{b}{13}\),
\(b = \frac{13}{\sqrt{2}}\).

Теперь мы знаем длины двух катетов прямоугольного треугольника: 5 см и \(\frac{13}{\sqrt{2}}\) см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту, которая является вторым катетом:
\(h^2 = (5)^2 + \left(\frac{13}{\sqrt{2}}\right)^2\).

Выполним вычисления:
\(h^2 = 25 + \frac{169}{2}\),
\(h^2 = \frac{50}{2} + \frac{169}{2}\),
\(h^2 = \frac{219}{2}\).

Найдем высоту:
\(h = \sqrt{\frac{219}{2}}\).

Теперь, когда у нас есть длины сторон основания и высоты параллелепипеда, мы можем вычислить его объем с помощью формулы:

\(\text{Объем} = \text{Площадь основания} \times \text{Высота}\).

Площадь основания равна произведению длин сторон основания: \(5 \times 12 = 60\) квадратных см.

Подставим все значения в формулу для объема:
\(\text{Объем} = 60 \times \sqrt{\frac{219}{2}}\).

Выполним вычисления:
\(\text{Объем} \approx 60 \times 14.778\),
\(\text{Объем} \approx 886.68\) (квадратных сантиметров).

Таким образом, объем этого прямоугольного параллелепипеда составляет около 886.68 кубических сантиметров.