В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 отношения длин ребер AB:AD:AA1=2:4:1. На ребрх AD, А1В1 И В1С1 взяты соответственно точки P, Q, и K — середины этих ребер. Считая АА1=а, найдите расстояние до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и AQ от следующих точек а)D1, б)А, с)С1.

Прежде чем перейти к решению задачи, давайте вначале разберемся в ее условии и определим известные данные.

У нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, и известно отношение длин его ребер: AB:AD:AA1 = 2:4:1. Помимо этого, мы знаем, что на ребрах AD, A1B1 и B1C1 взяты соответственно точки P, Q и K, которые являются серединами этих ребер. Также известно, что AA1 = а.

Теперь перейдем к решению задачи.

а) Найдем расстояние до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и АQ от точки D1.

Для начала построим прямую, проходящую через точку D1 и перпендикулярную плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и АQ. Для этого соединим точку D1 с точкой K прямой DK.

Так как K является серединой ребра A1B1 и прямоугольник ABCDA1B1C1D1 параллелепипедом, то прямая DK также будет пересекать ребро A1B1 в его середине, то есть в точке Q. По условию мы знаем, что Q является серединой ребра A1B1, значит, отрезок DQ также будет равным по длине отрезку A1Q.

Таким образом, имеем две равные по длине взаимно параллельные прямые: А1Q и DQ. По свойству параллельных прямых мы можем утверждать, что отрезок KD1 будет равняться отрезку QA1.

Теперь посмотрим на треугольник A1D1K. Он равнобедренный, так как A1Q и A1D1 равны между собой. Значит, отрезок KD1, являющийся высотой треугольника A1D1K, будет перпендикулярным его основанию A1K.

Таким образом, мы получили, что расстояние от точки D1 до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и АQ, равно отрезку A1K.

б) Найдем расстояние от точки A до этой же плоскости.

Для начала соединим точку A с точкой K прямой AK.

Аналогично предыдущему пункту, так как A является вершиной параллелепипеда, прямая AK будет пересекать ребро А1В1 в его середине, то есть в точке Q. По условию мы знаем, что Q является серединой ребра A1B1, значит, отрезок AQ также будет равным по длине отрезку A1Q.

Таким образом, имеем две равные по длине взаимно параллельные прямые: A1Q и AQ. По свойству параллельных прямых мы можем утверждать, что отрезок AK будет равняться отрезку QA1.

Теперь посмотрим на треугольник A1DK. Он также является равнобедренным, так как A1Q и A1D равны между собой. Значит, отрезок AK, являющийся высотой треугольника A1DK, будет перпендикулярным его основанию A1K.

Таким образом, мы получили, что расстояние от точки A до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и АQ, также равно отрезку A1K.

с) Найдем расстояние от точки C1 до этой же плоскости.

Для начала соединим точку C1 с точкой K прямой CK.

Так как K является серединой ребра B1C1 и прямоугольник ABCDA1B1C1D1 параллелепипедом, то прямая CK также будет пересекать ребро B1C1 в его середине, то есть в точке P. По условию мы знаем, что P является серединой ребра B1C1, значит, отрезок CP также будет равным по длине отрезку B1P.

Таким образом, имеем две равные по длине взаимно параллельные прямые: B1P и CP. По свойству параллельных прямых мы можем утверждать, что отрезок CK будет равняться отрезку CB1.

Теперь посмотрим на треугольник B1C1K. Он также является равнобедренным, так как B1P и B1C1 равны между собой. Значит, отрезок CK, являющийся высотой треугольника B1C1K, будет перпендикулярным его основанию B1K.

Таким образом, мы получили, что расстояние от точки C1 до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и АQ, также равно отрезку B1K.

Таким образом, ответ на вопрос задачи будет следующим:

а) Расстояние от точки D1 до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым СР и АQ, равно отрезку A1K.

б) Расстояние от точки A до этой же плоскости также равно отрезку A1K.

с) Расстояние от точки C1 до этой же плоскости также равно отрезку B1K.