В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 2, AD = 2, AA1 = 1. Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Добрый день! Рассмотрим данную задачу пошагово:

1. Для начала, нарисуем прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с указанными в условии длинами сторон. Видим, что AB1 и BC1 - это диагонали противоположных граней параллелепипеда.

A1_______________B1
/ /|
/ / |
/ / |
A________________________________B В
| | /
| | /
C________________________________D

2. Заметим, что AB1 и BC1 можно рассматривать как векторы AB1 → AB1 и BC1 → BC1, соединяющие соответственно точки A и B1, а также B и C1. Мы можем выразить эти векторы через исходные векторы AC1 → C1A, AB → AB и BC → BC.

3. Рассмотрим вектор AB → AB1. Он состоит из двух компонент: прямого отрезка AB и отрезка B1B.
AB равно вектору AD → AD1, который мы можем выразить через вектор C1A → AC1 и вектор CD → CD1.
AD → AD1 = C1A → AC1 + CD → CD1 = (-1)CA → AC1 + CD → CD1

Здесь (-1) - это просто коэффициент, указывающий на направление вектора C1A → AC1.

4. Аналогично, вектор B1B можно выразить через вектор CD → CD1 и вектор BC → BC1.
B1B = BC → BC1 + CD → CD1

5. Подставим полученные выражения для AB → AB1 и B1B в векторное произведение формулы косинуса. Мы получим следующее:
cos(θ) = (AB → AB1 * B1B) / (|AB → AB1| * |B1B|)

где * обозначает скалярное произведение двух векторов, | | - модуль вектора.

6. Теперь рассмотрим значения векторов:
AB → AB1 = (-1)CA → AC1 + CD → CD1 + BC → BC1
B1B = BC → BC1 + CD → CD1

Применяя формулы для рассчета скалярного произведения и модуля вектора, а также учитывая, что левая и правая грани прямоугольного параллелепипеда прямоугольные и перпендикулярны, несложно получить:

AB → AB1 * B1B = (-1)CA → AC1 * BC → BC1 + CD → CD1 * BC → BC1
+ CD → CD1 * CD → CD1 + BC → BC1 * BC → BC1
|AB → AB1| = √[(-1)CA → AC1 + CD → CD1 + BC → BC1] * √[(-1)CA → AC1 + CD → CD1 + BC → BC1]
|B1B| = √[CD → CD1 + BC → BC1] * √[CD → CD1 + BC → BC1]

Таким образом, мы выразили скалярное произведение и модули векторов через исходные векторы.

7. Подставив полученные выражения в формулу для косинуса, получим уравнение:
cos(θ) = ((-1)CA → AC1 * BC → BC1 + CD → CD1 * BC → BC1) /
( √[(-1)CA → AC1 + CD → CD1 + BC → BC1] * √[CD → CD1 + BC → BC1] )

Таким образом, мы нашли выражение для косинуса угла между прямыми AB1 и BC1.

8. Остается только подставить конкретные значения векторов, вычислить значение выражения и получить ответ.

Обратите внимание, что для дальнейших расчетов важно знать точные значения векторов CA → AC1, CD → CD1 и BC → BC1, которые необходимо получить из условия задачи.

Надеюсь, что эти шаги помогут вам понять, как решить данную задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно все закомментировать более подробно, пожалуйста, сообщите мне. Я готов помочь вам с любыми другими задачами!