В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.
2. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. MR=5√3, угол KMR=30°. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.
3. Ширина кольца, образованного двумя окружностями с общим центром, равна 3. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 18. Найти радиусы окружностей.
4. Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если у многоугольника 8 сторон и R= 14 см
6. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии
7. Дан параллелограмм АВСD. Постройте фигуру, которая получается при осевой симметрии, причем СD – ось симметрии.
8. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, которая получается при центральной симметрии, причем К – середина СD – центр симметрии.
9. Дан треугольник АВС. Постройте фигуру, которая получается при параллельном переносе на вектор МК, причем М Є АС, К Є ВС
10. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, которая получается при центральной симметрии, причем К – середина СD – центр симметрии.

Хорошо, давайте по порядку рассмотрим каждый из вопросов и решим их.

1. В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.

Чтобы найти отношение радиусов окружностей, нужно знать соотношение сторон между треугольником и шестиугольником. В данном случае, поскольку оба многоугольника правильные, сторона треугольника будет составлять две трети стороны шестиугольника. Таким образом, сторона треугольника A1B1C1 будет равна 4 см.

Теперь рассмотрим радиусы окружностей. Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Для правильного треугольника p равен стороне треугольника, а формула площади треугольника S = (a^2 sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Подставим значения и найдем радиус треугольника A1B1C1:
p = 4 см
S = (4^2 sqrt(3)) / 4 = 4 sqrt(3) см^2
r = (4 sqrt(3)) / 4 = sqrt(3) см

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, равен sqrt(3) см.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, нужно знать формулу, связывающую радиус вписанной окружности с длиной стороны шестиугольника. В данном случае эта формула будет r = (a sqrt(3)) / 6, где a - длина стороны шестиугольника.

Подставим значение стороны и найдем радиус шестиугольника ABCDEF:
a = 6 см
r = (6 sqrt(3)) / 6 = sqrt(3) см

Таким образом, отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, равно 1:1.

2. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. MR=5√3, угол KMR=30°. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.

Для решения этой задачи, нам понадобится информация о том, что отрезок NR перпендикулярен отрезку MP. Это означает, что угол NMR равен 90°.

Используя теорему Пифагора в треугольнике MNR, можно найти длину отрезка NP:
MN^2 = MR^2 + NR^2
NP^2 = 4MR^2

Подставим значение MR и решим уравнение:
NP^2 = 4(5√3)^2 = 100*3 = 300
NP = sqrt(300) = 10√3

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в треугольник MNP. Он будет равен половине высоты треугольника, опущенной на сторону NP. Для правильного треугольника высота равна h = a*sqrt(3)/2, где a - длина стороны треугольника.

Подставим значение стороны и найдем радиус окружности:
a = NP = 10√3
r = a*sqrt(3)/2 = 10√3*sqrt(3)/2 = 15 см

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник MNP равен 15 см, а длина стороны треугольника NP равна 10√3 см.

3. Ширина кольца, образованного двумя окружностями с общим центром, равна 3. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 18. Найти радиусы окружностей.

Чтобы решить эту задачу, разделим кольцо на два сектора - сектор большей окружности и сектор меньшей окружности. Поскольку хорда большей окружности касается меньшей окружности, угол между хордой и радиусом будет прямым.

Используя теорему Пифагора в секторе большей окружности, можно найти радиус большей окружности:
(18/2)^2 = r1^2 + 3^2
(r1^2) + 9 = 81
r1^2 = 72
r1 = sqrt(72) = 6√2 см

Радиус меньшей окружности будет равен разности радиусов двух окружностей:
r2 = r1 - 3 = 6√2 - 3 см

Таким образом, радиус большей окружности равен 6√2 см, а радиус меньшей окружности равен 6√2 - 3 см.

4. Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определите площадь многоугольника, если у многоугольника 8 сторон и R = 14 см.

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы связывающие радиус описанной окружности с длинами сторон многоугольника и его площадью.

Для правильного многоугольника с n сторонами, радиус R и стороной a, формулы будут следующими:
- Длина стороны многоугольника a = 2R sin(π/n)
- Площадь многоугольника S = (n/2) a R

Подставим значения и найдем площадь многоугольника:
n = 8
R = 14 см
a = 2R sin(π/n) = 2*14 sin(π/8) ≈ 24,66 см
S = (8/2) * 24,66 * 14 = 4 * 24,66 * 14 ≈ 1094,64 см^2

Таким образом, площадь многоугольника равна примерно 1094,64 см^2.

6. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Чтобы доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии, нужно показать, что для любой точки P параллелограмма, отраженная точка P' относительно центра симметрии будет лежать также на параллелограмме.

Для этого рассмотрим произвольную точку P внутри или на границе параллелограмма. Проведем две диагонали параллелограмма, которые пересекутся в точке O. Затем проведем отрезок OP и отразим точку P относительно O, чтобы получить точку P'.

Так как параллелограмм является параллельным переносом прямоугольника, стороны параллелограмма будут параллельны сторонам прямоугольника. То есть, стороны параллелограмма будут равны соответствующим отрезкам на противоположных сторонах прямоугольника.

Поскольку отраженная точка P' получается путем отражения по отношению к точке O, отрезок OP будет равен отрезку OP'. Также, так как O лежит на диагоналях параллелограмма, отрезки OQ и OP будут равны, где Q - середина отрезка PP'.

Теперь рассмотрим треугольники OPQ и OP'Q. Они имеют две стороны, которые равны между собой (OP = OP' и OQ = OQ) и общую сторону (PQ = P'Q). Следовательно, эти треугольники равны по стороне-стороне-стороне.

Это означает, что углы ∠OQP и ∠OQ'P' равны друг другу. Также, поскольку треугольники равны, углы ∠OPQ и ∠OP'Q' также равны друг другу. Таким образом, треугольники OPQ и OP'Q' являются подобными.

Из подобия треугольников следует, что ∠QPO равен ∠Q'PO'. Так как эти углы являются вертикальными углами, они также равны.

Таким образом, у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

7. Дан параллелограмм ABCD. Постройте фигуру, которая получается при осевой симметрии, причем CD – ось симметрии.

При осевой симметрии, каждая точка фигуры отражается относительно оси симметрии и остается на том же расстоянии от оси. Таким образом, чтобы построить фигуру, отраженную относительно оси CD, нужно построить зеркальное отображение каждой точки фигуры относительно оси.

Для построения отраженной фигуры, начните с отражения вершины A относительно оси CD. Построение зеркальной точки A' будет находиться на том же расстоянии от оси, что и точка A, но на противоположной стороне от оси.

Затем продолжайте отражать каждую следующую точку фигуры относительно оси CD и постепенно строить зеркальные точки. После отражения всех точек, соедините получившиеся зеркальные точки линиями для построения отраженной фигуры.

Таким образом, фигура, которая получается при осевой симметрии параллелограмма ABCD относительно оси CD, будет состоять из отраженных точек A'B'C'D'.

8. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, которая получается при центральной симметрии, причем К – середина СD – центр симметрии.

При центральной симметрии каждая точка фигуры отражается относительно центра симметрии и остается на том же расстоянии от центра. Таким образом, чтобы построить фигуру, отраженную относитель