В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности призмы. (Через производную)

Хорошо, рассмотрим пошаговое решение задачи.

Шаг 1: Разберемся с данными
Из условия задачи нам дано, что диагональ боковой грани равна 2. Обозначим эту величину как d.

Шаг 2: Вводим переменные и находим остальные стороны треугольной призмы
Пусть a, b и c - стороны треугольника в основании призмы. Так как треугольник правильный, то все его стороны равны.
Таким образом, a = b = c.

Также, зная диагональ боковой грани, мы можем найти высоту h боковой грани призмы с помощью теоремы Пифагора:
d^2 = a^2 + h^2.

Интересующая нас площадь боковой поверхности призмы может быть найдена как сумма площадей трех боковых граней. Поскольку все боковые грани призмы прямоугольные, их площади можно выразить как произведение длины стороны призмы на высоту h.

Таким образом, площадь боковой поверхности S будет равна:
S = 3 * a * h.

Шаг 3: Подстановка известных значений и поиск наибольшего значения площади
Мы имеем уравнение d^2 = a^2 + h^2. Подставим значение диагонали боковой грани: 2^2 = a^2 + h^2.
Получим a^2 + h^2 = 4.

Далее, подставляем это уравнение в выражение для площади боковой поверхности S:
S = 3 * a * h = 3 * a * sqrt(4 - a^2).

Шаг 4: Определение наибольшего значения площади
Чтобы найти наибольшее значение площади боковой поверхности, нужно найти максимум функции S(a).

Возьмем производную функции S(a) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

dS/da = 3 * [sqrt(4 - a^2) - a^2 / sqrt(4 - a^2)] = 0.

Теперь решим это уравнение относительно a и найдем его значения.

После нахождения этих значений, проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это точно экстремум.

Шаг 5: Вычисление значений площади
Подставим значения a, полученные на предыдущем шаге, в выражение для площади боковой поверхности S и найдем наибольшее значение.

Таким образом, мы пошагово рассмотрели решение задачи и получили наибольшее значение площади боковой поверхности призмы при заданной длине диагонали боковой грани.