В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания равной 2 точки M и N являются серединами сторон AC и BC соответственно. Угол между прямыми A1N и B1M равен 60°. Определить объем призмы.
Тт. и лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию ( — средняя линия поэтому ).
Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.
Далее возможны два варианта: либо тогда (см. рис. 2).
Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай Продлим нижнее основание за точку на длину верхнего основания: Тогда образовавшийся четырехугольник — параллелограмм, Значит а
По теореме синусов
используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:
Треугольники и подобны, значит и отсюда
По теореме косинусов для треугольника
откуда
Тогда если
Если же тогда
Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора:
если
если
(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай — посторонний).
Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника
Проекциями отрезков A1N и B1M являются медианы AN и BM основания ABC. Следовательно, так же как и медианы равностороннего ABC, отрезки A1N и B1M равны и точкой пересечения T делятся 2:1.
MN=AB/2=1 (средняя линия)
MT=NT, ∠MTN=60° => △MTN - равносторонний (р/б с углом 60°)
Объем призмы равен
Объяснение:
(Рис. 1)
Тт.

и
лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию (
— средняя линия
поэтому 

).
Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.
Далее возможны два варианта:
либо
тогда
(см. рис. 2).
Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай
Продлим нижнее основание
за точку
на длину верхнего основания:
Тогда образовавшийся четырехугольник
— параллелограмм, 
Значит
а
По теореме синусов
используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:
Треугольники
и
подобны,
значит и
отсюда
По теореме косинусов для треугольника
откуда
Тогда если
Если же
тогда
Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике
по теореме Пифагора:
если
если
(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай
— посторонний).
Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника
Окончательно, объем призмы:
Правильная призма
- прямая - боковые грани перпендикулярны основанию
- в основании правильный многоугольник
Проекциями отрезков A1N и B1M являются медианы AN и BM основания ABC. Следовательно, так же как и медианы равностороннего ABC, отрезки A1N и B1M равны и точкой пересечения T делятся 2:1.
MN=AB/2=1 (средняя линия)
MT=NT, ∠MTN=60° => △MTN - равносторонний (р/б с углом 60°)
MT=MN=1; B1M=3MT=3
BM=AB sin60° =√3
BB1 =√(B1M^2-BM^2) =√(9-3) =√6
V =S(ABC)BB1 =4 √3/4 *√6 =3√2