В правильной четырехугольной призме АВCDА1В1C1D1, АС=52 см, ВВ1=3см. Найдите: а) сторону основания б) диагональ боковой грани в) диагональ призмы г) площадь основания д) площадь диагонального сечения е) площадь боковой поверхности ж) площадь поверхности призмы.

Объяснение: ВВ1=АА1=СС1=ДД1=3. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат, поэтому все стороны нижнего и верхнего оснований равны. Диагональ АС делит основание на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, в которых стороны равны между собой и являются катетами а диагональ АС - гипотенузой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы в √2 раз, поэтому стороны основания будут: 52/√2см

а) сторона основ=52/√2см

Теперь найдём площадь основания по формуле: S=a², где а- сторона основания:

г) Sосн=(52/√2)²=2704/2=1352см²

Боковая грань представляет собой прямоугольник.

Теперь найдём площадь боковой грани по формуле: S=a×b, где а и b- стороны прямоугольника:

Sбок.гр=52/√2×3=156/√2см²

Так как таких граней 4, то:

е) Sбок.пов=156/√2×4=624/√2см²

Оснований 2, поэтому площадь двух оснований: S2осн=1352×2=2704см²

Теперь найдём полную площадь призмы:

Sпол=Sбок+Sосн=624√2+2704=

=624/1,4+2704=445,7+2704=

=3149,7см²

ж) Sпол=3149,7см²

Рассмотрим ∆АА1Д. Он прямоугольный. В нём АА1 и ДД1 - катеты а диагональ В1Д - гипотенуза. Найдём А1Д по теореме Пифагора: А1Д²=АА1²+АД²=

=3²+(52/√2)²=9+2704/2=9+1352=1361;

б) А1Д=В1С=√1361см

Площадь диагонального сечения призмы - это прямоугольник А1В1СД. Найдём её по формуле площади прямоугольника:

д) S=СД×А1Д=52/√2×√1361=52√680,5см²

Рассмотрим ∆ВВ1Д. Он прямоугольный, в котором диагональ В1Д является гипотенузой а ВВ1 и ВД- катеты.

ВД- диагональ основания=диагонали АС=52см. Найдём диагональ призмы ВДпо теореме Пифагора: В1Д²=ВВ1²+ВД²=3²+52²=9+2704=2713см

В1Д=√2713см

в) диагональ призмы В1Д=√2713см