В правильной четырехугольной пирамиде SAВCD стороны основания и высота равны 2 см. Найдите угол между плоскостью SAB и прямой АС.

Дана правильная четырехугольная пирамида SAВCD, сторона основания "а" и высота "Н" равны 2 см.

Эту задачу можно решит двумя геометрическим и 2) векторным.

1) Угол между плоскостью SAB и прямой АС - это угол между АС и её проекцией на плоскость SAB.

Апофема боковой грани А = √((a/2)² + H²) = √(1² + 2²) = √5.

Косинус угла наклона боковой грани к основанию равен: cos β = 1/√5.

Спроецируем точку С на плоскость SAB - пусть это точка Р.

ВР = a*cos β = 2*( 1/√5)=  2/√5.

Проекция АР = √(a² + BP²) = √(2² + ( 2/√5)²) = √(4 + (4/5)) = √(24/5).

Диагональ АС = 2√2 (по свойству гипотенузы в равнобедренном прямоугольном треугольнике).

Отрезок СР = a*sinβ.

Находим sinβ = √(1 - cos²β) = √(1 - (1/√5)²) = √(1 - (1/5)) = 2/√5.

СР = 2*(2/√5) = 4/√5.

Получили стороны треугольника, где угол САР и есть угол между АС и плоскостью SAB.

Решается по теореме косинусов.

cos CAP = ((√2)² + (√(24/5))² - (4/√5)²)/(2*√2*√(24/5)) = 0,774597.

Угол САР = 0,684719 радиан или 39,23152 градуса.