В параллелограмме ABCD точка M – середина CD, диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр параллелограмма, если CM = 10, OM = 9.

Параоелограмм

Объяснение:

Р=10(9)х2

Чтобы найти периметр параллелограмма, нам нужно знать длины всех его сторон. Давайте разберемся, как мы можем найти эти значения.

1. Диагонали параллелограмма разделяют его на четыре треугольника: ΔAOD, ΔBOC, ΔDOC и ΔCOA.
2. Так как точка M является серединой стороны CD, то длина CM равна половине длины CD. Исходя из этого, мы можем сказать, что длина CD равна 2 × CM.
3. Поскольку точка M также является серединой стороны AD, то длина AM равна половине длины AD. То есть, AM = AD / 2.
4. Так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, мы можем сказать, что каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. А значит, ΔAOD и ΔBOC являются параллельными, а ΔDOC и ΔCOA также параллельными.
5. Мы знаем, что ΔAOD и ΔDOC являются треугольниками с одинаковыми высотами (прямыми отрезками, которые проведены из вершин треугольников до противоположных сторон). Поэтому, между сторонами AD и DC, высота, проведенная из вершины O, является общей.
6. Поскольку ΔAOD и ΔDOC являются треугольниками с одинаковыми высотами, то их площади равны. Это означает, что площадь ΔAOD равна площади ΔDOC.
7. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на соответствующую высоту. Исходя из этого, мы можем написать равенство: (AD × OM) / 2 = (DC × OM) / 2.
8. Так как OM равно 9, мы можем записать уравнение: (AD × 9) / 2 = (DC × 9) / 2.
9. Делим обе части уравнения на 9: AD / 2 = DC / 2.
10. Из уравнения видно, что AD = DC. Это означает, что стороны AD и DC равны между собой.
11. Параллелограмм имеет две пары равных сторон, поэтому они обозначены как AB = DC и BC = AD.
12. Таким образом, периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон: AB + BC + AD + DC.
13. Но мы уже знаем, что AB = DC и BC = AD, поэтому периметр параллелограмма равен 2 × AB + 2 × BC.
14. Замечаем, что AB + BC = AC (это следует из свойств параллелограмма).
15. Таким образом, периметр параллелограмма равен 2 × AC.

Теперь нам нужно найти значение AC. Давайте воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике AOC.

1. Треугольник AOC прямоугольный, так как диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом.
2. Мы знаем, что CM = 10, OM = 9 и CO - это диагональ параллелограмма.
3. Используем теорему Пифагора: AC² = AM² + CM². Подставляем известные значения: AC² = (AD / 2)² + 10².
4. Раскрываем скобки и записываем уравнение: AC² = (AD² / 4) + 100.
5. Поскольку AD = DC, мы можем заменить AD² на DC²: AC² = (DC² / 4) + 100.
6. Теперь в нашем распоряжении есть два уравнения, относящихся к AC и DC. Они следуют из шагов 9 и 5 соответственно.
7. Решаем эти уравнения, чтобы найти значения AC и DC.
8. Подставляем найденные значения AC и DC в формулу для периметра параллелограмма: Периметр = 2 × AC.

Надеюсь, что этот ответ понятен и подробен для вас, школьника. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их!