В параллелограмме АBCD известно, что АВ = 14, BC = 42. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Чему равны диагонали, если периметр треугольника ACD равен 86, а периметр треугольника АОB равен 63?

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и треугольника.

Шаг 1: Из свойств параллелограмма мы знаем, что диагонали параллелограмма делятся пополам в точке их пересечения. Это означает, что AO = OC и BO = OD.

Шаг 2: Рассмотрим периметр треугольника АОB. По условию задачи, периметр треугольника АОB равен 63. Это означает, что сумма сторон треугольника АОB равна 63. Учитывая, что AO = OC и BO = OD, мы можем записать уравнение:

AO + AB + BO = 63.

Шаг 3: Заметим, что AB = DC (опять же, из свойств параллелограмма). Также, AB = 14, как указано в условии задачи. Заменим AB на DC и получим:

AO + DC + BO = 63.

Шаг 4: Теперь рассмотрим периметр треугольника ACD. По условию задачи, периметр треугольника ACD равен 86. Это означает, что сумма сторон треугольника ACD равна 86. Запишем это уравнение:

AC + CD + AD = 86.

Шаг 5: Запишем также уравнение для периметра треугольника ACD, используя соответствие BC = CD (из свойств параллелограмма):

42 + CD + AD = 86.

Шаг 6: Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (AO, BO и AC, AD). Для решения системы уравнений мы можем использовать метод подстановки или метод сложения уравнений.

Шаг 7: Решим уравнение AO + DC + BO = 63 относительно AO:
AO = 63 - DC - BO.

Шаг 8: Подставим это значение AO в уравнение 42 + CD + AD = 86 и решим относительно AD:
42 + CD + 63 - DC - BO + AD = 86,
105 - BO + CD + AD - DC = 86,
105 - BO + AD = 86,
AD - BO = 86 - 105,
-BO + AD = -19.

Шаг 9: Заметим, что -BO + AD = -19 и BO = OD (из свойств параллелограмма). Тогда -OD + AD = -19, что приводит к AD - OD = 19.

Шаг 10: Сравним уравнения AD - BO = -19 и AD - OD = 19. Мы можем заметить, что левая часть обоих уравнений одинаковая (AD), но правая часть противоположная. Из этого следует, что BO = -19.

Шаг 11: Знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда AO = OC = (63 - AO - BO) / 2 = (63 - AO - (-19)) / 2 = (63 - AO + 19) / 2 = (82 - AO) / 2 = 41 - (AO/2).

Шаг 12: Мы знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда AO = OC = (63 - AO - BO) / 2 = (63 - AO - (-19)) / 2 = (63 - AO + 19) / 2 = (82 - AO) / 2 = 41 - (AO/2). Вернемся к уравнению AO + AB + BO = 63 и заменим AO на 41 - (AO/2):

41 - (AO/2) + 14 + BO = 63,
55 - (AO/2) + BO = 63,
BO - (AO/2) = 8.

Шаг 13: Уравнения AD - OD = 19 и BO - (AO/2) = 8 образуют систему уравнений с двумя неизвестными (AD и AO). Решим эту систему уравнений.

Шаг 14: Для этого воспользуемся методом сложения уравнений. Из уравнения AD - OD = 19 выразим AD:

AD = 19 + OD.

Шаг 15: Заменим AD на выражение 19 + OD в уравнении BO - (AO/2) = 8:

BO - (AO/2) = 8,
BO - (41 - AO)/2 = 8,
2BO - 41 + AO = 16.

Шаг 16: Имеем два уравнения: AD = 19 + OD и 2BO - 41 + AO = 16. Мы можем решить эту систему уравнений.

Шаг 17: Приведем уравнение 2BO - 41 + AO = 16 к виду AO = -2BO + 57.

Шаг 18: Подставим это значение AO в уравнение AD = 19 + OD:

19 + OD = -2BO + 57.

Шаг 19: Подставим в это уравнение BO = -19:

19 + OD = -2(-19) + 57,
19 + OD = 38 + 57,
19 + OD = 95.

Шаг 20: Решим это уравнение относительно OD:

OD = 95 - 19,
OD = 76.

Шаг 21: Знаем, что AO = OC и OD = BO. Тогда AO = OC = 41 - (AO/2) = 41 - (41/2) = 20.5 и OD = BO = 76.

Ответ: Диагонали AC и BD параллелограмма АBCD равны 20.5 и 76 соответственно.