В параллелограмме ABCD A=30°, AB= 4, BC=5. Найти скалярное произведение векторов AD AB 2. Вычислите скалярное произведение векторов ти п, если {3;-2}, п {-2; 3}. 3. Вычислите косинус угла между векторами Ри 9, если (3; -4), 4 {15; 83. 4. Даны векторы а {2; -3} и {x; -4}. При каком значении х эти векторы перпендикулярны? 5. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами А (2; 8), (0;

1. Прежде заметим, что AB = CD = 3√2; AD = BC = 5; (рисунок) ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 180° - 45° = 135° (Свойства параллелограмма)

а) AD · AB = BC · AB = |BC| · |AB| · cos ∠A = 5 · 3√2 · cos 45° = 15√2 · √2 / 2 = 15

б) BA · BC = |BA| · |BC| · cos ∠B =  3√2 · 5 · cos 135° = -15√2 · √2/2 = -15

в) AD · BH = 0, так как AD ⊥ BH

2.  a {-4; 5}, b {-5; 4} - вектора

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = -4·(-5) + 5·4 = 20 + 20 = 40

3.  a {-12; 5}, b {3; 4} - вектора

cos ∠(a, b) = a · b / (|a| · |b|)  

a · b = -12·3 + 5·4 = -36 + 20 = -16

|a|² = (-12)² + 5² = 144 + 25 = 169 ⇒ |a| = √169 = 13

|b|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ |b| = √25 = 5

cos ∠(a, b) = -16 / (13·5) = -16/65

4.  m {3; y}, n {2; -6} - ненулевые вектора

m ⊥ n ⇔ m·n = 0 (m,n ≠ 0)

Вроде так

m·n = 3·2 + y·(-6) = 6 - 6y = 0

-6y = -6

y = 1

5. Для того, чтобы "выйти" на cos ∠B нам понадобятся вектора BA и BC. Найдем их координаты:

BA {3 - 0; 9 - 6} = {3; 3}

BC {4 - 0; 2 - 6} = {4; -4}

BA · BC = 3 · 4 + 3 · (-4) = 12 - 12 = 0.

Так как BA, BC ≠ 0 ⇒ BA ⊥ BC ⇒ cos ∠B = 0

Объяснение:

1. Найдем векторы AD и AB:
Вектор AD = вектор OD - вектор OA, где O - точка пересечения диагоналей.
Вектор OD = вектор OB = (5, 0) (поскольку диагонали параллелограмма равны)
Вектор OA = вектор OB + вектор BC = (5, 0) + (4, 0) = (9, 0)
Вектор AD = (5, 0) - (9, 0) = (-4, 0)

Вектор AB = (4, 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AD и AB:
Скалярное произведение = ADx * ABx + ADy * ABy = (-4 * 4) + (0 * 0) = -16

2. Вектор a = (3, -2)
Вектор b = (-2, 3)

Скалярное произведение = ax * bx + ay * by = (3 * -2) + (-2 * 3) = -6 - 6 = -12

3. Вектор Р = (3, -4)
Вектор 4 = (15, 8)

Для вычисления косинуса угла между векторами, используем формулу:
cos(theta) = (P * Q) / (|P| * |Q|), где P и Q - векторы, * - скалярное произведение, |P| и |Q| - длины векторов.

|P| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
|Q| = sqrt(15^2 + 8^2) = sqrt(225 + 64) = sqrt(289) = 17

cos(theta) = ((3 * 15) + (-4 * 8)) / (5 * 17) = (45 - 32) / (85) = 13 / 85

4. Вектор а = (2, -3)
Вектор b = (x, -4)

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
2*x + (-3)*(-4) = 0
2*x + 12 = 0
2*x = -12
x = -6

Таким образом, когда x равно -6, векторы а и b будут перпендикулярны.

5. Для вычисления косинуса угла А треугольника, используем формулу:
cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c), где a, b, c - длины сторон треугольника.

a = sqrt((2 - 0)^2 + (8 - 2)^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)
b = sqrt((0 - 6)^2 + (2 - 8)^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6 * sqrt(2)
c = sqrt((6 - 2)^2 + (8 - 8)^2) = sqrt(16) = 4

cos(A) = ((6 * sqrt(2))^2 + 4^2 - (2 * sqrt(10))^2) / (2 * (6 * sqrt(2)) * 4)
= (72 + 16 - 40) / (48 * sqrt(2))
= 48 / (48 * sqrt(2))
= 1 / sqrt(2)
= sqrt(2) / 2

Таким образом, косинус угла А треугольника равен sqrt(2) / 2.