В остроугольном треугольнике две высоты равны 4 и 8. Длина одной из двух сторон, к которым проведены эти высоты, равна 5. Найдите длину другой стороны.

Добрый день! Для решения этой задачи мы можем использовать свойства остроугольных треугольников.

1. Начнем с построения схемы треугольника, чтобы лучше понять условие задачи.

- Нарисуем треугольник ABC.
- Пусть высота, которая равна 4, проведена из вершины A. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной BC как D.
- Также, пусть другая высота, равная 8, проведена из вершины C. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной AB как E.
- По условию задачи, мы знаем, что сторона, к которой проведена высота 4, равна 5.

2. Определим, какие дополнительные данные нам нужны для решения задачи.

- Мы уже знаем длину одной из сторон (5) и длину двух высот (4 и 8). Нам остается найти длину другой стороны треугольника.

3. Применим свойство остроугольных треугольников, связанное со связью между сторонами треугольника и проведенными к ним высотами.

- В остроугольном треугольнике, если проводим высоты ко всем сторонам, то эти высоты являются пропорциональными отрезками сторон.
- То есть, можно сказать, что отношение длин сторон треугольника к длинам проведенных к ним высот одинаково для всех сторон треугольника.

4. Найдем отношение длин сторон треугольника к длинам проведенных к ним высот.

- Пусть сторона AB имеет длину b, а сторона BC имеет длину c.
- Тогда, по свойству остроугольных треугольников и описанной выше пропорциональной связи, мы можем написать:
b/4 = c/8 = 5/4
- Разделив обе части пропорции на 5, получим:
b/4 = c/8 = 1/4

5. Решим систему уравнений, полученную из пропорции, чтобы найти значения сторон треугольника.

- Начнем с уравнения b/4 = 1/4. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя, и получим:
b = 1
- Теперь рассмотрим уравнение c/8 = 1/4. Умножим обе части уравнения на 8:
c = 2

6. Ответим на вопрос задачи, найдя длину другой стороны треугольника.

- Две стороны треугольника уже найдены. Осталось найти третью сторону.
- По условию задачи, мы знаем, что сторона AB имеет длину b = 1.
- Таким образом, длина другой стороны треугольника равна 1.

Итак, длина другой стороны остроугольного треугольника равна 1.