В окружности X проведены хорда AB и вторая окружность E, которая касается хорды AB и окружности X в точках C и D . Докажите, что прямая CD содержит середину одной из дуг окружности X с концами A, B.

См. рисунок.

Обозначим центр малой окружности через . Если окружность касается хорды, то по свойствам касательной радиус окружности перпендикулярен хорде в этой точке: .

Если отрезок перпендикулярен хорде, то при их пересечении он делит хорду пополам (это теорема, которую изучают в школе). Значит, точка — середина хорды . Треугольник равнобедренный (поскольку отрезки и равны как радиусы). Значит, медиана является также и высотой. Получим, что . Учитывая предыдущее равенство, получим, что . Это значит, что точки и лежат на одной прямой. Тогда на той же прямой лежит точка касания (ведь по условию она диаметрально противополож