В окружность радиусом 6 см вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах правильного треугольника и окружности.

Сначала построим схему задачи. У нас есть окружность радиусом 6 см, в которую вписан правильный треугольник. Стороны этого треугольника являются радиусами окружности, а также сторонами правильного треугольника. На одной из сторон этого треугольника построен квадрат. Наша задача - найти радиус окружности, описанной вокруг этого квадрата.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться следующим свойством: в правильном треугольнике, описанном вокруг окружности радиусом r, каждая из его сторон равна 2r.

Построим треугольник, сторона которого равна 2r. Учитывая, что данный треугольник является правильным, мы можем найти его высоту.

Высота правильного треугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Пусть данная высота равна h. Используя теорему Пифагора, получим следующее уравнение:

(2r)^2 = r^2 + h^2

Раскроем скобки:

4r^2 = r^2 + h^2

Вычтем r^2 из обеих сторон уравнения:

3r^2 = h^2

Рассмотрим теперь квадрат, построенный на стороне этого треугольника. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, будет иметь площадь, равную сумме площадей квадратов, построенных на катетах треугольника. Пусть сторона квадрата равна S.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

S^2 = r^2 + h^2

Мы уже получили уравнение, в котором присутствует h^2, выражение, которое мы нашли в предыдущем уравнении:

S^2 = r^2 + 3r^2

S^2 = 4r^2

Найдем теперь радиус окружности, описанной около квадрата. Радиус этой окружности будет равен половине диагонали квадрата. Пусть данная диагональ равна D.

Мы можем увидеть, что диагональ квадрата делит его на два прямоугольных треугольника. Зная, что сторона квадрата равна S, мы можем найти длину диагонали с помощью теоремы Пифагора:

D^2 = S^2 + S^2

D^2 = 2S^2

Нам известно, что S^2 = 4r^2:

D^2 = 2*4r^2

D^2 = 8r^2

Теперь найдем половину диагонали, то есть радиус окружности:

R = D/2

R = √(8r^2)/2

R = √(4r^2)

R = 2r

Таким образом, радиус окружности, описанной около квадрата, равен 2r. В нашем случае, если радиус окружности, вписанной в треугольник, составляет 6 см, то радиус окружности, описанной около квадрата, будет равен 2 * 6 см, то есть 12 см.