В квадрате 3 × 3 клетки провели два отрезка так, как это
показано на рисунке. Докажите, что части этих отрезков, находящиеся внутри закрашенных клеток, равны.

Доказательство рассмотрения:

Первым шагом мы должны определить, какие именно отрезки мы должны сравнить, чтобы доказать, что их части, находящиеся внутри закрашенных клеток, равны.

На рисунке видно, что у нас есть два отрезка: один соединяет верхние клетки по диагонали, а другой соединяет нижние клетки по диагонали. Мы должны доказать, что части этих отрезков, находящиеся внутри закрашенных клеток, равны.

Второй шаг включает в себя пронумерование клеток, чтобы легче отслеживать, о каких клетках идет речь в следующем доказательстве.

Давайте назовем квадраты, соединенные вертикальным отрезком, "квадрат A" и "квадрат B", а квадраты, соединенные горизонтальным отрезком, - "квадрат С" и "квадрат D".

Теперь мы готовы перейти к третьему шагу, в котором мы будем использовать пошаговое решение.

3. Поскольку каждый квадрат имеет одинаковый размер (3 × 3), мы можем использовать геометрические пропорции, чтобы сравнить отрезки.

Внутри каждого квадрата, к которому относится отрезок, закрашены две клетки.

В квадрате А: если мы обозначим верхнюю левую клетку как 1, нижнюю правую клетку обозначим как 4.

В квадрате B: если мы обозначим верхнюю правую клетку как 2, нижнюю левую обозначим как 3.

В квадрате C: если мы обозначим верхнюю левую клетку как 5, нижнюю правую клетку обозначим как 8.

В квадрате D: если мы обозначим верхнюю правую клетку как 6, нижнюю левую клетку обозначим как 7.

Сейчас у нас есть следующие части отрезков:

Отрезок AB: Мы хотим сравнить отрезки AD и BC, поэтому нам понадобятся клетки 1, 4, 6 и 7.

Отрезок CD: Мы хотим сравнить отрезки AC и BD, поэтому нам понадобятся клетки 5, 6, 3 и 4.

Теперь мы можем перейти к четвертому шагу, где мы сравним отрезки, используя геометрические пропорции.

4. Отрезок AD: Если мы сравним отрезки, используя геометрические пропорции, мы увидим, что отношение длин AD и BC равно отношению длины сторон AD и BC, поскольку сегменты AB и CD общие стороны квадратов.

Мы уже видим, что отношение длин AD и BC будет равно отношению длин 1 и 6 к длинам 4 и 7 в соответствии с геометрическими пропорциями.

Отрезок AC: Теперь давайте сравним отрезки, используя геометрические пропорции. Мы увидим, что отношение длин AC и BD будет равно отношению длины сторон AC и BD, поскольку сегменты AD и BC общие стороны квадратов.

Мы уже видим, что отношение длин AC и BD будет равно отношению длин 5 и 6 к длинам 8 и 3 в соответствии с геометрическими пропорциями.

Поэтому мы приходим к заключению, что части отрезков, находящиеся внутри закрашенных клеток, равны.