«в кубе abcda1b1c1d1 через середины ребер a1b1,d1c1, и вершину b проведено сечение. найдите обьем куба, если площадь этого сечения равна 9√5/2

Пусть К - середина А₁В₁, Т - середина D₁C₁.

КВ₁С₁Т - прямоугольник (КВ₁║С₁Т, КВ₁ = С₁Т как половины равных ребер), значит КТ║В₁С₁.

Параллельные плоскости пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым. Сечение проходит через вершину В и пересекает плоскость АВС, значит линия пересечения должна быть параллельна КТ. Это прямая ВС.

ВКТС - искомое сечение.

Пусть ребро куба а. Тогда КС₁ = а/2.

Из прямоугольного треугольника КСС₁ по теореме Пифагора:

КС = √(СС₁² + КС₁²) = √(а² + а²/4) = √(5а²/4) = а√5/2

Sbktc = BC · KC = a · a√5/2 = a²√5/2

Sbktc = 9√5/2 по условию,

а²√5/2 = 9√5/2

а = 3.

Vкуба = а³ = 3³ = 27 ед. куб.