В кубе ABCDA'B'C'D', диагональ АС = 2 корня из 3 . Точки М, Н и Р – середины
соответственно ребер B'C', C'D' и DD1. Докажите, что плоскости АА'C' и МНР взаимно перпендикулярны.​

Давайте разберем задачу пошагово.

1. Рассмотрим куб ABCDA'B'C'D' и его диагональ АС. Мы знаем, что длина этой диагонали равна 2 корня из 3.

2. Теперь внимательно посмотрим на точки М, Н и Р, которые являются серединами соответственно ребер B'C', C'D' и DD1. Таким образом, М – середина B'C', Н – середина C'D' и Р – середина DD1.

3. Возьмем отрезок МН. Так как М – середина B'C', а Н – середина C'D', то отрезок МН будет параллелен ребру BD (так как B'C' и C'D' параллельны BD и имеют равную длину).

4. Посмотрим на отрезок РА. Так как Р – середина DD1, а D и D1 являются симметричными точками относительно плоскости ABCDA'B'C'D' (так как D и D1 лежат на противоположных сторонах куба), то отрезок РА будет параллелен ребру AA' (так как DD1 и AA' параллельны и имеют равную длину).

5. Итак, мы получили, что отрезок МН параллелен ребру BD, а отрезок РА параллелен ребру AA'.

6. Если два отрезка параллельны, то плоскости, содержащие эти отрезки, будут параллельны друг другу.

7. Теперь применим это знание к нашей задаче. Плоскость, содержащая отрезок МН, назовем плоскостью МНР. Плоскость, содержащая отрезок РА, назовем плоскостью АА'C'.

8. Из пункта 6 мы знаем, что плоскости, содержащие параллельные отрезки, будут параллельны друг другу. Таким образом, плоскость МНР параллельна плоскости АА'C'.

9. Наконец, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы будут перпендикулярны друг другу.

10. Так как плоскость МНР параллельна плоскости АА'C', то их нормальные векторы будут перпендикулярны друг другу.

11. Итак, нам нужно доказать, что нормальный вектор плоскости АА'C' перпендикулярен к нормальному вектору плоскости МНР.

12. Нормальный вектор плоскости АА'C' можно найти с помощью двух векторных произведений: AB x AD и AC x AD'. Эти вектора можно найти, зная координаты точек A, B, C, D, A' ,B' ,C' ,D'.

13. Нормальный вектор плоскости МНР также можно найти с помощью векторного произведения MI x MR. Эти векторы также можно найти, зная координаты точек M, I и R.

14. После нахождения нормальных векторов плоскостей АА'C' и МНР, необходимо проверить, что их скалярное произведение равно нулю, так как это условие перпендикулярности.

15. Если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то мы можем сделать вывод, что плоскости АА'C' и МНР взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости АА'C' и МНР взаимно перпендикулярны, используя доказательство через проверку перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.