В ∆АВС ∠С = 60°, ∠В = 90°. Высота ВК =
a
см. Найдите ВА. Заполните пропуски.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться несколькими свойствами треугольника.

Первое свойство: сумма углов треугольника равна 180°. Так как в треугольнике ∆АВС угол С равен 60°, а угол В равен 90°, мы можем найти третий угол треугольника, угол А. Для этого нужно вычесть сумму угла С и угла В из 180°:
180° - 60° - 90° = 30°.

Теперь, имея значения углов ∆АВС, мы можем приступить к нахождению сторон треугольника.

Рассмотрим треугольник ∆ВАК. Он является прямоугольным, так как угол В равен 90°. Мы знаем, что сторона ВК является высотой треугольника ∆АВС. Пусть значение стороны ВК равно а.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон. В нашем случае, сторона ВК является гипотенузой треугольника ∆ВАК, сторона ВА - одной из катетов, и мы хотим найти её значение.

Применяя теорему Пифагора, получим следующее уравнение:
ВА² = ВК² - КА².

Мы знаем, что ВК = а. Осталось найти значение КА.

В треугольнике ∆АВС, проведём отрезок КВ, которая является высотой треугольника. Теперь у нас получаются два прямоугольных треугольника: ∆ВАК и ∆КСВ. Они оба имеют острый угол при В, и у них есть общий катет ВК. Так как эти два треугольника подобны, то мы можем использовать их соотношение для нахождения значения КА.

Учитывая, что ∠К = 90° и ∠ВКС = 90° (так как ВК является высотой треугольника ∆АВС), то данные треугольники подобны по двум углам. То есть, ∆ВАК подобен ∆КСВ.

В связи с подобием треугольников, мы можем использовать пропорцию для нахождения значения КА:
ВА/ВК = ВК/СВ.

Так как ВА - это искомая сторона, и ВК = а (значение высоты), нам нужно найти значение СВ.

В треугольнике ∆АВС, у нас уже есть значение угла С, равное 60°. Давайте найдём значение угла ВСА:
∠ВСА = 180° - ∠С - ∠В = 180° - 60° - 90° = 30°.

Так как у нас теперь известны значения двух углов в треугольнике ∆АВС, мы можем использовать свойство, согласно которому сумма углов в треугольнике равна 180°, чтобы найти значение третьего угла: АСВ.
∠АСВ = 180° - ∠ВСА - ∠С = 180° - 30° - 60° = 90°.

Теперь мы можем приступить к нахождению значения СВ, используя тригонометрическое отношение синуса угла АСВ:
sin(∠АСВ) = СВ/АС.

Заметим, что sin(∠АСВ) = sin(90°) = 1. Тогда мы получаем:
1 = СВ/АС.

Так как мы хотим найти СВ, нам нужно найти значение АС. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, примененную к треугольнику ∆АВС:
АС² = АВ² + ВС².

Учитывая, что у нас значения стороны АВ (катета) и ВС (гипотенузы), мы можем подставить их в уравнение и решить его.

Сумма квадратов значений катетов равна квадрату значения гипотенузы:
АС² = АВ² + ВС²
АС² = В² + (а)².

Далее, обозначим значение АС² как х:
х = В² + а².

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти значение х:
х = 9 + а².

Теперь, найдя значение х, мы можем подставить его в пропорцию для нахождения значения СВ:
1 = СВ/х.

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти значение СВ:
СВ = х.

Наконец, мы можем подставить значение СВ и ВК в пропорцию для нахождения значения ВА:
ВА/а = а/х.

Теперь решим уравнение:
ВА/а = а/х
ВА = (а^2)/х.

Таким образом, мы нашли значение ВА, которое равно:
ВА = (а^2)/х.

В итоге, после всех выкладок, мы получили значение ВА, аналитически записанное.

Если мы подставим конкретные числовые значения, мы получим конкретный ответ. Однако, я не могу подставить значения без конкретных данных, поэтому ответ остается в символьной форме.