Уравнение окружности: x²+y²=18.
уравнение прямой: x+y+c=0.
найди значения коэффициента c, с которыми прямая и окружность имеет одну общую точку (прямая касается окружности).

Давайте начнем с решения этой задачи.

Уравнение окружности дано в канонической форме: x² + y² = 18. Мы можем заметить, что радиус окружности равен √18 = 3√2, так как радиус в канонической форме окружности равен √(x₀² + y₀²), где (x₀, y₀) - координаты центра окружности.

Теперь мы знаем, что прямая касается окружности, что означает, что она имеет одну общую точку (которая является точкой касания) с окружностью. Значит, эта общая точка должна удовлетворять уравнению окружности.

Для того, чтобы явно найти эту точку, мы можем подставить уравнение прямой x + y + c = 0 в уравнение окружности x² + y² = 18 и найти значение коэффициента c, при котором это возможно.

Подставляя значение y из уравнения прямой в уравнение окружности, мы получаем:

x² + (-x - c)² = 18
x² + (x² + 2cx + c²) = 18
2x² + 2cx + c² - 18 = 0

Теперь нам нужно найти значение c, при котором уравнение выше имеет одно решение (то есть прямая имеет одну точку касания с окружностью). Это возможно, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения равен b² - 4ac, где a = 2, b = 2c и c = c² - 18.

Подставляем эти значения и приравниваем дискриминант к нулю:

(2c)² - 4 * 2 * (c² - 18) = 0
4c² - 8c² + 144 = 0
-4c² + 144 = 0
c² - 36 = 0
(c - 6)(c + 6) = 0

Решаем это квадратное уравнение и находим два возможных значения для c: c = 6 и c = -6.

Теперь проверим эти значения, подставив их в уравнение прямой и уравнение окружности.

При c = 6:
уравнение прямой: x + y + 6 = 0
уравнение окружности: x² + y² = 18

Для этого прямой и окружности нет общей точки, так как их уравнения не удовлетворяются одновременно.

При c = -6:
уравнение прямой: x + y - 6 = 0
уравнение окружности: x² + y² = 18

Для этого значения прямой и окружности есть одна общая точка, так как их уравнения удовлетворяются одновременно. Точка касания окружности с прямой будет такой, что координаты этой точки удовлетворяют и уравнению окружности, и уравнению прямой. Чтобы найти точку касания, мы можем решить систему уравнений:

x + y - 6 = 0
x² + y² = 18

Мы можем решить первое уравнение относительно x и выразить его через y: x = 6 - y. Подставим это значение второе уравнение:

(6 - y)² + y² = 18
36 - 12y + y² + y² = 18
2y² - 12y + 18 = 0
y² - 6y + 9 = 0
(y - 3)² = 0
y - 3 = 0
y = 3

Теперь подставим найденное значение y в первое уравнение:

x + 3 - 6 = 0
x - 3 = 0
x = 3

Таким образом, общая точка касания прямой x + y - 6 = 0 и окружности x² + y² = 18 - это точка (3, 3).

Итак, получается, что значение коэффициента c, при котором прямая x + y + c = 0 имеет одну общую точку касания с окружностью x² + y² = 18, равно c = -6, и точка касания окружности и прямой будет (3, 3).