Угол между прямоугольником и его проекцией равен 60 градусам, стороны прямоугольника 9 и 6 см. Найдите площадь проекции.

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первый шаг: Построим схему проблемы для лучшего понимания. Нарисуем прямоугольник ABCD, где сторона AB равна 9 см, а сторона BC равна 6 см. Пусть точка E - проекция точки D на сторону AB.

```
A ____________________ B
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
D ------------------- C
E
```

Второй шаг: Найдем угол между прямоугольником ABCD и его проекцией DE. Задача говорит нам, что угол между этими двумя линиями равен 60 градусам.

Третий шаг: Посмотрим, что мы знаем о прямоугольнике ABCD. Мы знаем, что сторона AB равна 9 см, а сторона BC равна 6 см.

Четвертый шаг: Обратимся к понятию проекции. Проекцией точки на плоскость называют перпендикуляр, опущенный из этой точки на эту плоскость. В нашем случае, проекция точки D (то есть точка E) является перпендикуляром, опущенным из точки D на сторону AB.

```
A ____________________ B
| |
| |
| E |
| * D |
| |
| |
| |
| |
D ------------------- C
```

Пятый шаг: Так как мы хотим найти площадь проекции, нам нужно знать длину основания и высоту. Основание проекции - это сторона AB прямоугольника ABCD, которая равна 9 см. А высота проекции - это расстояние между стороной BC и прямой, проходящей через точку D и перпендикулярной стороне BC.

Шестой шаг: Чтобы найти высоту проекции, нам нужно использовать геометрические свойства прямоугольника. Вспомним, что в прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны.

```
________h________
| |
| E |
| * D |
| |
|_________________|
```

Седьмой шаг: Если сторона BC равна 6 см, то сторона AD тоже равна 6 см. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту проекции, обозначим ее как h.

Используем теорему Пифагора:
h^2 = AD^2 - DE^2

Длина AD равна 6 см, а DE является высотой проекции. Значит, мы можем записать уравнение следующим образом:

h^2 = 6^2 - DE^2
h^2 = 36 - DE^2

Восьмой шаг: Нам также известно, что угол между прямоугольником и его проекцией равен 60 градусам. Это значит, что прямоугольник ABCD и треугольник ADE являются прямоугольными и подобными. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти отношение высоты проекции к стороне прямоугольника.

DE / h = sin 60

sin 60 равен √3 / 2. Упростим это извлечение:

DE / h = √3 / 2

Перемножим обе части уравнения, чтобы избавиться от дроби:

DE = (√3 / 2) * h
DE = √3 * h / 2

Девятый шаг: Теперь мы можем подставить это значение DE^2 в уравнение, которое мы получили восьмом шаге:

h^2 = 36 - (√3 * h / 2)^2
h^2 = 36 - (3h^2 / 4)
4h^2 = 144 - 3h^2
7h^2 = 144
h^2 = 144 / 7

Десятый шаг: Найдем значение h, взяв корень из обеих частей уравнения:

h = √(144 / 7)

Значение можно приближенно вычислить как 6.473 см.

Одиннадцатый шаг: Теперь мы можем найти площадь проекции, используя формулу площади треугольника:

Площадь = (основание * высота) / 2
Площадь = (9 * 6.473) / 2
Площадь ≈ 32.2995 см^2

Ответ: Площадь проекции прямоугольника равна около 32.2995 см^2.