Твірна зрізаного конуса дорівнює 12 см і утворює з площиною більшої основи кут 60°. У конус вписано кулю. Знайдіть радіус кулі та радіуси основ зрізаного конуса.

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться в данной задаче.

Для начала давайте разберемся, что такое конус и его основы. Конус - это геометрическое тело, у которого есть одна точка, называемая вершиной, и кривая линия, называемая боковой поверхностью, которая соединяет вершину с плоской фигурой, называемой основой. Основа конуса может быть различной формы, например, круг, эллипс, треугольник и т.д.

Теперь обратимся к условию задачи. Зрізаний конус - это конус, из которого удалена его часть параллельно основе. То есть, мы получаем новую фигуру с двумя плоскими основами.

Давайте обозначим неизвестные данные. Пусть радиус внешней основы зрізаного конуса равен R (получается, что это большая основа), а радиус внутренней основы зрізаного конуса равен r (малая основа).

Из условия задачи мы знаем, что твірна зрізаного конуса равна 12 см. Твірна - это расстояние от вершины до точки, лежащей на окружности боковой поверхности. По формуле твірни вычисляется по следующей формуле: l = √(R^2 + r^2), где R и r - радиусы основ конуса.

Также нам известно, что угол, образованный площадью параллельной бОльшей основе и твірною, равен 60 градусов. Мы можем использовать теорему косинусов для вычисления этого угла. Формула этой теоремы: cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c), где α - угол, а a, b, c - стороны треугольника.

Теперь перейдем к нахождению радиуса вписанной в конус кули. Внутреннюю кулю можно вписать в конус так, чтобы она касалась его боковой поверхности и обоих основ. Радиус вписанной в конус кули обозначим как r1.

Для нахождения этого радиуса можно воспользоваться формулой l = h - r1, где l - твірна (известное значение равно 12 см), а h - высота конуса. Но у нас нет значения высоты, чтобы применить эту формулу.

Также, учитывая свойства вписанной кули, можем воспользоваться теоремой Пифагора: R^2 = (h - r1)^2 + r1^2, где h - высота конуса.

Теперь, когда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (r1 и h), можно решить эту систему уравнений. Для этого применим метод подстановки. Подставим значение l = 12 в первое уравнение: 12 = h - r1.

Теперь подставим это уравнение во второе уравнение: R^2 = (12 - r1)^2 + r1^2.

Произведем несколько преобразований:
R^2 = 144 - 24r1 + r1^2 + r1^2,
R^2 = 144 - 24r1 + 2r1^2.

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной (r1). Раскроем скобки: R^2 = 144 - 24r1 + 2r1^2.

Теперь приравняем это уравнение к нулю и решим его, используя квадратное уравнение.

2r1^2 - 24r1 + 144 - R^2 = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой Дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -24, c = 144 - R^2.

D = (-24)^2 - 4 * 2 * (144 - R^2).

D = 576 - 8(144 - R^2) = 576 - 1152 + 8R^2,

D = 8R^2 - 576.

Поскольку у нас D = 0 (корни вещественные и равные), тогда r1 = (-b ± √(D)) / 2a = (24 ± √0) / 4.

Таким образом, имеем два возможных варианта:
1) r1 = (24 + √0) / 4 = 24 / 4 = 6 см;
2) r1 = (24 - √0) / 4 = 24 / 4 = 6 см.

Таким образом, радиус вписанной в конус кули равен 6 см.

Итак, мы нашли радиус кулі, а теперь перейдем к нахождению радиусов основ зрізаного конуса.

Для этого воспользуемся формулой твірни l = √(R^2 + r^2), которую мы уже рассмотрели ранее.

Подставим значения известных данных: 12 = √(R^2 + r^2).

Возводим обе части уравнения в квадрат: 12^2 = (R^2 + r^2).

Раскроем скобки: 144 = R^2 + r^2.

Сейчас у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (R и r).

Для нахождения значений этих радиусов, можно воспользоваться следующим приемом: из выражения R^2 + r^2 = 144 выразим R^2 через r^2: R^2 = 144 - r^2.

Теперь, вспомним условие задачи, что угол, образованный площадью параллельной бОльшей основе и твірною, равен 60 градусов.

Также известно, что угол, касательная которого к окружности, проведенной в одной плоскости с конусом, является дугой окружности от любой точке на этой окружности, равен половине меры дуги: α/2 = 60 / 2 = 30 градусов.

Нам известны углы, поэтому можем воспользоваться тригонометрическими функциями.

Используем формулу sin(α) = (противолежащий катет / гипотенуза).

Для бОльшей основы: sin(30) = r / R.

Для этого уравнения мы можем решить R через r: R = r / sin(30).

Теперь, используя выражение R^2 = 144 - r^2, можем заменить R: (r / sin(30))^2 = 144 - r^2.

Теперь, решим это уравнение, используя алгебраические преобразования:

(r^2 / sin^2(30)) = 144 - r^2.

r^2 / (1/4) = 144 - r^2.

4r^2 = 144 - r^2.

5r^2 = 144.

r^2 = 144 / 5.

r = √(144 / 5).

Таким образом, радиус малой основы зрізаного конуса равен √(144 / 5).

Чтобы ответить точнее, можно посчитать это значение:

r = √(144 / 5) ≈ 6,12 см.

Итак, были найдены радиусы основ зрізаного конуса: R ≈ 6,12 см и r = 6 см, а также радиус вписанной в конус кули: r1 = 6 см.

Мы разобрали задачу шаг за шагом, при этом объяснили каждый шаг и привели всевозможные пояснения. Надеюсь, что это помогло вам понять и решить задачу. Если у вас остались еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!