Три круга (площадь каждого из них равна s) касаются друг друга. найдите площадь круга, который внутренним образом касается трёх данных кругов.

Три РАВНЫХ по площади круга могут касаться друг друга только внешним образом. Окружность, которая ВНУТРЕННИМ образом касается трех указанных - это окружность, являющаяся ВНЕШНЕЙ для трех остальных.
Рассмотрим треугольник АВС. Это равносторонний треугольник со стороной, равной 2r.  Высота этого треугольника h равна r√3.
Тогда отрезок ОА=(2/3)*r√3, а радиус искомой окружности равен ОА+r или
R=(2/3)*r(√3+1)= r(2√3+3)/3.
Так как r=√(S/π), то R=r((2/3)*(√3+1)) или R=√(S/π)*((2√3+3)/3).
R²=(S/π)*((2√3+3)/3)² или R²=(S/π)*(12+12√3+9)/9=(S/π)*((7+4√3)/3).
Площадь искомого круга будет Sи=πR².
Тогда Sи=S*(7+4√3)/3.

Рассмотрим равностор треуг образованный центрами этих кругов. его сторона равна двум радиусам кругов(2r). его медианы пересекаются и делятся как 1/2
найдём мед , пусть её длина x
по т пиф x^2=(2r)^2- r^2
x^2=4r^2-r^2
x^2=3r^2
x=r корней из 3
найдём радиус маленького круга
r=2/3x+r=2/3rкорней из 3 +r= 2r/3корней из 3 +r
найдём площ этого круга
s=пи(2r/3корней из 3 +r)^2=пи r^2(2+3корней из 3)/3корней из 3)^2
найдём r через s
тк s=пи r^2,
то r^2=(s/пи)
s=s(7-4корней из 3)/3
ответ: s(7-4 корней из 3)/3