Трапеция 150 см² , в которой есть углы 90° и 150°, описана около окружности. Найдите радиус окружности.​

Дана прямоугольная трапеция с тупым углом 150° и площадью 150 см².

Примем радиус искомой вписанной окружности за r.

Находим верхнее основание b.

b = r + (r*tg (180° - 150°)/2) = r  + r*tg 15° = r(1 + tg 15°).

Тангенс половинного угла  

tan  α /2  =  ± √ ((1  −  cos  α) /(1  + сos  α )) =  sin  α /(1  +  cos  α ) =

=  (1  −  cos  α )/sin  α

Находим tg 15° = (1 -(√3/2))/(1/2) = 2 - √3.

Тогда b = r(1 + 2 - √3) = r(3 - √3).

Так как высота трапеции равна 2r, то нижнее основание с равно:

с = b + (2r/tg 30°) = r(3 - √3) + (2r/(1/√3)) = r(3 - √3 + 2√3) = r(3 + √3).

На основе формулы площади трапеции составляем уравнение:

2r*((r(3 - √3) + r(3 + √3))/2) = 150.

Получаем r²*6 = 150, откуда r = √(150/6) = √25 = 5 ед.

ответ: r = 5 ед.