Точки плоскости, удовлетворяющие условию |z-1|=2. лежат на окружности
радиуса 1​

Для начала, давай разберемся с условием задачи.

У нас есть плоскость с точкой z и условием |z-1|=2. В этом условии |z-1| означает расстояние от точки z до точки 1 на плоскости. И наше условие говорит, что это расстояние должно быть равно 2.

Для решения этой задачи, нам нужно найти все точки на плоскости, которые удовлетворяют этому условию. Для начала, давайте представим z в виде a + bi, где a и b - это действительные числа.

Теперь, применим условие задачи |z-1|=2:

|a + bi - 1| = 2.

Мы можем разложить модуль таким образом:

√((a - 1)^2 + b^2) = 2.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(a - 1)^2 + b^2 = 4.

(a^2 - 2a + 1) + b^2 = 4.

a^2 - 2a + 1 + b^2 = 4.

a^2 - 2a + b^2 - 3 = 0.

Так как мы хотим найти точки на плоскости, то a и b должны быть действительными числами. Исходя из этого, мы можем представить a и b как координаты точек на плоскости. Пусть a соответствует координате x, а b - координате y.

Тогда наше уравнение будет выглядеть так:

x^2 - 2x + y^2 - 3 = 0.

Что это за уравнение? Это уравнение окружности!

Для дальнейшего анализа, давайте перенесем -3 на другую сторону:

x^2 - 2x + y^2 = 3.

Для того чтобы иметь возможность рассмотреть наше уравнение как окружность в стандартной форме, давайте выполним комплетирование квадрата для переменных x и y.

Для комплетирования квадрата, нужно добавить (b/2)^2 к обеим сторонам уравнения, где b - это коэффициент при переменной, в данном случае это -2.

x^2 - 2x + 1 + y^2 = 3 + 1.

(x - 1)^2 + y^2 = 4.

И вот мы видим знакомую формулу окружности! (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

В нашем случае центр окружности будет иметь координаты (1, 0), а радиус будет равен квадратному корню из 4, то есть 2.

Таким образом, точки на плоскости, удовлетворяющие условию |z-1|=2, лежат на окружности радиуса 2 и с центром в точке (1, 0).