Точки P и Q лежат внутри треугольника ABC и изогонально сопряжены относительно него. Точка QA симметрична точке Q относительно стороны BC. Известно, что ∠BQA=100∘, ∠BCA=47∘. Найдите ∠CPQA.

Добрый день! Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Нарисуем треугольник ABC и отметим точки P и Q.
(Здесь нужно нарисовать треугольник ABC и отметить точки P и Q внутри него)

Шаг 2: Посмотрим на условие задачи. У нас есть информация о том, что точки P и Q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Это означает, что углы APB и AQB равны.

(На рисунке отметить углы APB и AQB, и подписать их)

Шаг 3: У нас также есть информация о том, что точка QA симметрична точке Q относительно стороны BC. Это означает, что линия QA проходит через середину стороны BC и перпендикулярна ей.

(На рисунке отметить середину стороны BC и нарисовать перпендикуляр из точки Q)

Шаг 4: Нам дано, что угол BQA равен 100∘. Мы знаем, что угол AQB равен углу APB, так как точки P и Q изогонально сопряжены. Значит, угол APB также равен 100∘.

(На рисунке отметить угол APB величиной 100∘)

Шаг 5: Давайте обратимся к углу BCA, который равен 47∘. Мы также знаем, что сторона QA перпендикулярна стороне BC. Значит, угол QCA равен 90∘-47∘, то есть 43∘.

(На рисунке отметить угол QCA величиной 43∘)

Шаг 6: Теперь посмотрим на треугольник QCA. У нас есть два угла: QCA равен 43∘ и QAC равен 100∘. Мы можем найти третий угол, используя свойство суммы углов в треугольнике.

Значит, QCA + QAC + ∠CQA = 180∘.

43∘ + 100∘ + ∠CQA = 180∘.

∠CQA = 180∘ - 43∘ - 100∘.

∠CQA = 180∘ - 143∘.

∠CQA = 37∘.

(На рисунке отметить угол CQA величиной 37∘)

Шаг 7: Ответ: ∠CPQA равен 37∘.

(Ответить на вопрос и подтвердить его обоснование)

Итак, угол CPQA равен 37∘. Это было найдено, используя свойство изогональной сопряженности точек P и Q относительно треугольника ABC, а также свойства перпендикулярных линий и суммы углов в треугольнике.