Точка о - точка пересечения биссектрис треугольника авс. прямая во пересекает описанную около треугольника авс окружность в точке s. найти длину отрезка оs, если ас=sqrt(3+sqrt3), угол в=30 градусов, угол с=45 градусов.

Вписанный угол в 30° опирается на хорду, равную радиусу, а вписанный угол в 45° - на хорду, стягивающую дугу в 90°, т.е. равную стороне вписанного в окружность квадрата. Поэтому, если обозначить АС = b = √(3 + √3), то радиус описанной около АВС окружности R = b; а АВ = b*√2;
Более того, точка S делит дугу АС (равную 60°) пополам (ВО - биссектриса), поэтому хорда SB стягивает дугу 90° + 30° = 120°, то есть BS = b*√3;
Все это очень хорошо, но найти надо OS, а для этого надо найти положение центра вписанной окружности.
Если внимательно посмотреть на приложенный рисунок, то можно заметить несколько интересных особенностей этой конструкции. Если Q - центр описанной окружности, а К – точка пересечения QA и BS, то QC II BS (простым сравнением углов). Поскольку треугольник QAC равносторонний, то CP = QK, АР = КР = АК = b - QK; легко видеть, поскольку угол KBQ = 30°, что QK = b/√3; и ВК = 2*QK = b*2/√3; а BS = 3*QK (!).
Теперь надо вычислить и ВР, и ВО, и СВ. Для упрощения вычислений я введу несколько простых обозначений.
Пусть QK = u; ВС = a; AB = c; BP = μ – длина биссектрисы; y = BO; x = OP;
Тогда μ = BK + KP = 2*u + (b – u) = b + u; a/c = u/(b – u); a = c*u/(b – u);
По свойству биссектрисы y/x = (a + c)/b;
y/x = (c + c*u/(b – u))/b = c/(b – u); y + x = μ = b + u; y = c*(b + u)/(c + b – u);
Теперь сюда можно подставить значения u = b/√3; c = b*√2;
Получается BO = y = b*√2*(√3 + 1)/(√6 + √3 – 1);
OS = BS – BO = b*(√3 - √2*(√3 + 1)/(√6 + √3 – 1)) = √(3 + √3)*(√3 - √2*(√3 + 1)/(√6 + √3 – 1));
Я не буду искать упрощения этого выражения – подстановка в Excel и в Maple ничего не дала, так что это скорее всего бесполезно.
Ну, и хочется обратить внимание на то, что координатный метод тут просто сам просится - О это точка пересечения двух прямых СМ и BS, проходящих через точки с известными координатами, после определения координат точки О из соответствующей системы 2 линейных уравнений надо найти расстояние от O до S, координаты которой тоже известны.
Для любителей комплексных переменных - отдельно - координаты точки О вычисляются очень легко :)