Точка о - середина стороны ав квадрата авск. радиус окружности, описанной около треугольника аос, равен √10 см. вычислите периметр квадрата.

Периметр квадрата равен 4*4 = 16 см.

Найдем сторону квадрата.
Сторона треугольника АС - диагональ квадрата.
Следовательно, угол ОАС в этом треугольнике равен 90:2 = 45 градусов.
Обозначим сторону квадрата за Х.
Тогда АС = Х√2 (как диагональ квадрата), АО = Х/2 (по условию т.О - середина стороны).
Площадь треугольника АОС равна 1/2*Х√2*Х/2*sin45° = X^2/4.
Сторона ОС треугольника равна (из треугольника ВОС - он прямоугольный, с катетами Х/2 и Х) Х√5/2.

Радиус описанной возле этого треугольника окружности равен:
(Х/2*Х√5/2*Х√2)/(4*Х^2/4) = Х*√10/4.
Что по условию равно √10: Х*√10/4 = √10, откуда Х = 4.

Таким образом, сторона квадрата равна 4 см.
Периметр - сумма сторон квадрата - равен 4*4 = 16 см.

ответ: 16 см.