... Точка N на стороне ВС треугольника АВС такова, что BN : NC= 1 : 3. Тогда:
вектор AN=вектор AB + вектор AC.

Для начала, давай разберемся в том, что такое вектор. Вектор - это стрелка на плоскости или в пространстве, которая имеет направление, длину и начало. В нашем случае, вектор AN представляет собой стрелку, которая начинается в точке A и заканчивается в точке N.

Теперь давай разберемся, что означает утверждение "BN : NC = 1 : 3". Здесь мы имеем дело с отношением длин отрезков BN и NC.

Предположим, что длина отрезка BN равна x, тогда длина отрезка NC будет равна 3x. Здесь отношение BN : NC равно 1 : 3, так как длина BN составляет одну часть отношения, а длина NC - три части отношения.

Затем нам нужно понять, что значит "вектор AN = вектор AB + вектор AC".

Это означает, что вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке N, равен сумме вектора AB (начало в точке A, конец в точке B) и вектора AC (начало в точке A, конец в точке C).

Таким образом, чтобы найти вектор AN, мы можем взять вектор AB и прибавить к нему вектор AC.

Давай разберемся, как это сделать с помощью пошагового решения. Предположим, что вектор AB задаётся координатами (x1, y1), а вектор AC - координатами (x2, y2).

1. Найдем координаты вектора AB:
- Вектор AB начинается в точке A, поэтому его начальная координата будет (0, 0).
- Вектор AB заканчивается в точке B, поэтому его конечная координата будет (x1, y1).

2. Найдем координаты вектора AC:
- Вектор AC начинается в точке A, поэтому его начальная координата будет (0, 0).
- Вектор AC заканчивается в точке C, поэтому его конечная координата будет (x2, y2).

3. Теперь сложим координаты векторов AB и AC:
- Сложение координат будет происходить поэлементно. То есть, сложим x-координаты AB и AC, а затем сложим y-координаты AB и AC.
- После сложения, получим новую пару координат, которая задает вектор AN.

4. Таким образом, вектор AN будет задаваться новой парой координат (x1 + x2, y1 + y2).

Следует отметить, что данный результат верен, если мы рассматриваем векторы как свободные векторы, то есть мы не фиксируем их начало в определенной точке или направление. Если бы рассматривали направленные векторы, то при сложении нужно было бы учесть соответствующие направления.

Надеюсь, это пояснение поможет понять, как получить вектор AN, используя векторы AB и AC и заданное отношение длин отрезков BN и NC.