Точка м середина основания вс равнобедренного треугольника авс. На стороне ав выбрана точка р, а на стороне ас - Q таким образом, что угол pmd = углу Qmc. Докажите что а) bq=cp б) угол APC= углу AQB

Для доказательства данных утверждений, нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства параллельных прямых.

Докажем первое утверждение:

a) Для начала, обратим внимание на то, что у нас имеется равнобедренный треугольник АВС, где м - середина основания ВС.

Из свойств равнобедренного треугольника, мы знаем, что медиана, проведенная из вершины до середины основания, является высотой и делит основание на две равные части.

Теперь, по условию задачи, пусть точка Р находится на стороне АВ, а точка Q - на стороне АС.

Важно отметить, что треугольник ВРМ и треугольник АСQ являются подобными.

Мы видим, что угол PMD равен углу QMC.

Вспомним также, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Из подобия треугольников ВРМ и АСQ, мы можем сказать, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

Используя соответствующие стороны треугольников, можно записать следующее:

BP/PM = QA/QC

Учитывая, что PM = MC (так как треугольник АВС - равнобедренный), уравнение принимает следующий вид:

BP/MC = QA/QC

Теперь, заметим, что угол BCP равен углу QCA. Так как у нас равнобедренный треугольник, то угол BCP является также углом MCP.

Мы можем использовать теорему о трех параллельных прямых, чтобы сказать, что BQ параллельна CA (так как угол BCP равен углу QCA).

Теперь мы можем рассмотреть подобные треугольники в параллельных прямых:

Мы видим, что треугольник BQC и треугольник CPA подобны.

То есть, соответствующие стороны треугольников пропорциональны:

BQ/QC = CP/PA

Учитывая, что BQ = QC (так как у нас равнобедренный треугольник), уравнение принимает следующий вид:

BQ/QC = CP/PA

Теперь, поскольку QС = BQ и QA = PA (так как PM = MC и треугольник АВС - равнобедренный), можно сказать, что:

BQ = QC = CP = PA

Таким образом, мы доказали, что BQ = CP, что было требуемым утверждением.

Доказательство второго утверждения аналогично и основано на равенстве углов и параллельности прямых. Здесь необходимо использовать подобные треугольники АPС и АQB для доказательства равенства углов.

Таким образом, утверждение а) bq=cp, и утверждение б) угол APC= углу AQB, доказаны.