Точка м - середина биссектрисы ск треугольника abс. на отрезке bm взята точка t так, что . докажите, что .

Ответы

udovika 17.07.2020 18:46

1)Попробуем так , продолжим точку за

, как выглядит на рисунку , так как CTA=90а

, то около треугольника можно описать окружность такая что

будет диаметром ,

биссектриса ,то TCG=GCA

, прямоугольник AGCE

в нем

, следовательно $\cup \ AG=\cup \ CE$ ; MTC=CTE

;

откуда следует что равны по соответствующим дугам
$GCA=CTE\\
GCA=MCB\\
CTE=MTC\\
MCB=MTC$
вся это конструкция выглядит довольно очень искусственно, имеется ввиду что исходя из того что AGCE

является прямоугольник, авторы задачи видимо на этом и конструировали эту самую задачу.

2)Теперь докажем численно , то есть для произвольного треугольник, что это и будет выполнятся , к примеру треугольник со сторонами 12;6;7

такой треугольник существует исходя из неравенств треугольников (Можно конечно взять стороны за a;b;c

и проделать операций которые описаны ниже,но оно будет объемным)
Докажем так предположим что MCB=MTC

, то есть что это действительно так , тогда должно выполнятся условие $S_{BTA}+S_{BTC}+S_{CTA}=S_{ABC}$ , если это не так то предположение будет не верным , значит $MCB \neq MTC$
$12^2=6^2+7^2-2*6*7*cos2a\\
 cos2a=-\frac{59}{84}$
по формуле биссектрисы , и зная что CM=0.5*CK

, можно найти по формуле биссектрисы
$CM=\frac{6*7*cosa}{6+7}\\
 CM=\frac{6*7*cos(-\frac{arccos(-\frac{59}{84})}{2})}{13}\\ 
 CM=\frac{5*\sqrt{10.5}}{13}$
По теореме косинусов из треугольника $BKC\\
KB=\frac{84}{13}$
Найдем длину медианы $BM=\frac{\sqrt{2*KB^2+2*BC^2-CK^2}}{2}\\
BM=\frac{24\sqrt{14}}{13}$ $S_{ABT}=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184} *0.5*\frac{35\sqrt{3}}{46}*$
Угол $TMC=arccos( - \frac{35}{92\sqrt{3}})$ (это когда находя угол BMC

, затем отнимая от $\pi-BMC-a$ )
Из треугольника TMC

, по теореме синусов
$TC=\frac{\sqrt{1-(\frac{35}{92\sqrt{3}})^2}*\frac{5*\sqrt{10.5}}{13}}{sin(arccos(-\frac{59}{84})*0.5)}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}\\
AT=\sqrt{36-TC^2} = \frac{13*\sqrt{429}}{46}$
найдем

по теореме косинусов так же
$BT=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}$
$S_{BTC} =\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}* \frac{35\sqrt{3}}{46}*sin(\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5$
$S_{BTA}=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5*\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}$ $*\frac{35\sqrt{3}}{46}$
$S_{CTA}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}*\frac{13*\sqrt{429}}{46}*0.5$
суммируя получим
$\frac{5\sqrt{143}}{4}$
что верно найдя площадь самого треугольник к примеру по формуле Герона является верным ,значит предположение было верным MTC=MCB