Точка m одинаково удалена от всех сторон треугольника `abc`, у которого ab=13 см,bc=15 см,ac=14 см. расстояние от точки m до плоскости треугольника равно 3 см. найдите расстояние от точки m до сторон треугольника.

Проведем МТ⊥АВ, МК⊥ВС, МН⊥АС. Тогда МТ = МК = МН, так как точка М равноудалена от сторон треугольника (расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую).

Проведем МО⊥АВС, тогда МО = 3 см, расстояние от точки М до плоскости АВС.

Соединим точку О с точками Т, К и Н. ОТ, ОК и ОН - проекции соответствующих наклонных на плоскость АВС и так же перпендикулярны сторонам треугольника по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Если наклонные, проведенные из одной точки, равны, то равны и их проекции. Значит точка О равноудалена от сторон треугольника, и значит О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, ОТ = ОК = ОН = r - радиус вписанной окружности.

Sabc = pr, где р - полупериметр.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (13 + 15 + 14) / 2 = 42 / 2 = 21 см

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Sabc = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))

Sabc = √(21 · (21 - 13) · (21 - 15) · (21 - 14)) = √(21 · 8 · 6 · 7) = √(3 · 7 · 4 · 2 · 2 · 3 · 7) =

= 3 · 7 · 2 · 2 = 84 см²

r = S / p = 84 / 21 = 4 см

ΔMOK: ∠MOK = 90°, по теореме Пифагора:

              МК = √(МО²+ ОК²) = √(3² + 4²) = √25 = 5 см