Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x -2y-7=0. Составить уравнения сторон квадрата

Добрый день!

Для того чтобы составить уравнения сторон квадрата, нам необходимо найти координаты остальных трех вершин квадрата.

Первым шагом найдем уравнение прямой, на которой лежит одна из сторон квадрата. Уравнениями прямой на плоскости являются уравнения вида Ax + By + C = 0, где A, B и C - это коэффициенты.

В данном случае, у нас уже есть уравнение прямой: x - 2y - 7 = 0. Значит, A = 1, B = -2 и C = -7.

Для нахождения остальных вершин квадрата воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем центр квадрата. Центр квадрата находится в середине диагонали, которая соединяет вершину квадрата (точку А) с противоположной вершиной. Для нахождения центра квадрата, найдем координаты второй вершины квадрата.

2. Для нахождения второй вершины, нам необходимо перемещаться от точки А на такое же расстояние в противоположном направлении. Заметим, что прямая x - 2y - 7 = 0 имеет угловой коэффициент 1/2, то есть каждый раз, когда x увеличивается на 1, y увеличивается на -1/2. Следовательно, чтобы переместиться на расстояние 2 влево, нужно уменьшить x на 2, и y увеличить на -2 * (-1/2) = +1.

Таким образом, координаты второй вершины квадрата будут:
x = 2 - 2 = 0
y = -5 + 1 = -4

То есть, вторая вершина квадрата имеет координаты (0, -4).

3. Используем найденные две вершины, точку А и вторую вершину (0, -4), чтобы найти центр квадрата. Центр квадрата будет иметь координаты в середине отрезка, соединяющего точку А и вторую вершину. Для нахождения центра квадрата, найдем среднее арифметическое координат x и y двух вершин:

x_центр = (2 + 0) / 2 = 1
y_центр = (-5 + (-4)) / 2 = -4.5

То есть, координаты центра квадрата равны (1, -4.5).

4. Теперь, когда у нас есть центр квадрата и одна из вершин (точка А), мы можем найти координаты остальных двух вершин, зная, что квадрат симметричен относительно центральной оси.

Для того, чтобы найти вершину, которая находится в верхней части квадрата, мы увеличим y вершины А на расстояние между центром и вершиной. Таким образом, мы получим координаты первой вершины второго квадрата:

x_вершина2 = 2
y_вершина2 = -5 + (центр - вершина)

x_вершина2 = 2
y_вершина2 = -5 + (-4.5 - (-5)) = -4.5 + 0.5 = -4

То есть, координаты вершины второго квадрата будут равны (2, -4).

5. Наконец, для нахождения координат третьей вершины квадрата, которая находится в левой части квадрата относительно центра, мы отразим координаты второй вершины относительно центральной оси:

x_вершина3 = 2 * (2 - 1) - 1 = 1
y_вершина3 = 2 * (-4 - (-4.5)) - 4.5 = -1

То есть, координаты третьей вершины квадрата будут (1, -1).

Теперь, имея координаты четырех вершин квадрата, мы можем составить уравнения сторон. Уравнениями сторон квадрата будут уравнения прямых, проходящих через две соседние вершины.

1. Уравнение стороны, проходящей через точки А(2, -5) и вторую вершину (0, -4):
Уравнение прямой проходит через две точки (x_1, y_1) и (x_2, y_2) можно представить в виде:
(y - y_1) = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) * (x - x_1)

(x_2 - x_1) = (0 - 2) = -2
(y_2 - y_1) = (-4 - (-5)) = 1

Уравнение стороны будет:
(y - (-5)) = 1 / -2 * (x - 2) -> -2y + 10 = x - 2 -> x + 2y - 12 = 0

2. Уравнение стороны, проходящей через вторую вершину (0, -4) и вершину 2 (2, -4):
(x_2 - x_1) = (2 - 0) = 2
(y_2 - y_1) = (-4 - (-4)) = 0

Уравнение стороны будет:
(y - (-4)) = 0 / 2 * (x - 0) -> 0 = x -> x = 0

3. Уравнение стороны, проходящей через вершины 2 (2, -4) и 3 (1, -1):
(x_2 - x_1) = (1 - 2) = -1
(y_2 - y_1) = (-1 - (-4)) = 3

Уравнение стороны будет:
(y - (-4)) = 3 / -1 * (x - 2) -> -3y + 12 = x - 2 -> x + 3y - 14 = 0

4. Уравнение стороны, проходящей через вершины 3 (1, -1) и А(2, -5):
(x_2 - x_1) = (2 - 1) = 1
(y_2 - y_1) = (-5 - (-1)) = -4

Уравнение стороны будет:
(y - (-1)) = -4 / 1 * (x - 1) -> -4y + 4 = x - 1 -> x + 4y - 5 = 0

Таким образом, уравнения сторон квадрата будут:
1) x + 2y - 12 = 0
2) x = 0
3) x + 3y - 14 = 0
4) x + 4y - 5 = 0

Эти уравнения сторон определяют квадрат, вершины которого находятся в точках А(2, -5), (0, -4), (1, -1) и (2, -4).

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их.